Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

74 3. MODÈLE COUPLÉ EN TRANSLATION ET EN ROTATIONtermes, les Éqs. (3.18) et (3.19) doivent être prémultipliées par F 0 :∆¨r c + C c ∆C c ∆¨r i − C c [∆C c (r i + ∆r i )] × ∆ ˙ω c (3.20)= 1 C c ∆C c C i ∆C i f i + C c ∆C c C i ∆C i c × im J −1 (i,P gi i− c × i f i)− ¨r0 − ¨r ci−2 ( C0 T ) ×[ (C )T × ( )ω 0 (ṙ0 + ṙ c + ∆ṙ c ) − 0 ˙ω 0 + CT ×2]0 ω 0 (r 0 + r c + ∆r c )−C c ∆C c¨r i − 2 ( C0 T ) ×ω 0 + ω c + C c ∆ω c Cc ∆C c (ṙ i + ∆ṙ i )[− C0 T ˙ω 0 + ˙ω c + ( C0 T ) ×ω 0 ωc + ( C0 T ) ×] ×ω 0 + ω c Cc ∆ω c Cc ∆C c (r i + ∆r i )− ( C T 0 ω 0 + ω c + C c ∆ω c) ×2Cc ∆C c (r i + ∆r i )− [ C T 0 ω 0 + ω c + C c ∆ω c + C c ∆C c (ω i + C i ∆ω i ) ] ×2Cc ∆C c C i ∆C i c i−C c ∆C c C i ∆C i c × i J −1i,P i∆C T i C T i· [∆C T c C T c C T 0 ω 0 + ∆C T c C T c (ω c + C c ∆ω c ) + ω i + C i ∆ω i] ×·C i ∆C i J i,Pi ∆C T i C T i· [∆C T c C T c C T 0 ω 0 + ∆C T c C T c (ω c + C c ∆ω c ) + ω i + C i ∆ω i]C c ∆ ˙ω c + C c ∆C c C i ∆ ˙ω i (3.21)= C c ∆C c C i ∆C i J −1i,P i(gi − c × i f i)− CT0 ˙ω 0 − ˙ω c − ( C T 0 ω 0) ×ωc− ( C T 0 ω 0 + ω c) ×Cc ∆ω c − C c ∆C c ˙ω i − ( C T 0 ω 0 + ω c + C c ∆ω c) ×Cc ∆C c ω i− ( C T 0 ω 0 + ω c + C c ∆ω c + C c ∆C c ω i) ×Cc ∆C c C i ∆ω i−C c ∆C c C i ∆C i J −1i,P i∆C T i C T i· [∆C T c C T c C T 0 ω 0 + ∆C T c C T c (ω c + C c ∆ω c ) + ω i + C i ∆ω i] ×·C i ∆C i J i,Pi ∆C T i C T i· [∆C T c C T c C T 0 ω 0 + ∆C T c C T c (ω c + C c ∆ω c ) + ω i + C i ∆ω i]Dans l’Éq. (3.21), la notation v×2 est utilisée au lieu de v × v × pour raccourcir les expressions, cf. aussiAnnexe B.Les Éqs. (3.20) et (3.21) sont les expressions matricielles des dynamiques de translation et derotation du vaisseau i, respectivement. Comme précédemment, les expressions pour le vaisseau jpeuvent être obtenues simplement en changeant l’indice.Il est important de noter que ces expressions sont non-linéaires en les variables commençant par ∆,c’est-à-dire les termes décrivant les écarts en position et en attitude par rapport à la configuration nominalede la formation. En outre, elles sont évidemment encore trop compliquées pour être exploitablespar des méthodes numériques. Pour remédier à ces problèmes, nous effectuerons une linéarisation etde nombreuses simplifications dans les sections suivantes.Pour l’instant, nous n’avons pas écrit les dynamiques de translation et de rotations nominalesen notation matricielle. Or, elles peuvent facilement être écrites en supprimant toutes les matricescolonnes commençant par ∆ (∆r c , ∆ṙ c , ∆ω c , etc.) et en remplaçant les matrices carrées commençantpar ∆ par des matrices d’identité.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux