Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

22 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTRE2.1 Le mouvement d’un satellite en orbite terrestre2.1.1 Le mouvement keplerienLe mouvement non perturbé d’un satellite autour d’un corps central, c’est-à-dire le mouvementinduit par un champ de gravitation d’un corps central parfaitement sphérique, s’appelle le mouvementkeplerien.Au 17ième siècle, Johannes Kepler 1 a découvert à partir d’observations faites par Tycho Brahe 2les célèbres lois de Kepler et les a publiées dans ses œuvres Astronomia Nova (1609) et HarmonicesMundi (1619).Les lois de Kepler, au nombre de trois, décrivent le mouvement des planètes du système solaire(cf. [188]) :1. Loi des orbitesUne planète se trouve sur une trajectoire elliptique autour du Soleil. Le Soleil est situé à un desfoyers de cette ellipse.2. Loi des airesDans un intervalle de temps donné, l’aire balayée par le rayon vecteur, c’est-à-dire le vecteurreliant le Soleil et la planète, est la même sur toute l’orbite. Par conséquent, la vitesse angulairede la planète est maximale au périhélion (point le plus proche du foyer) et minimale à l’apohélion(point le plus éloigné du foyer).3. Loi des périodesLe carré de la période sidérale T est proportionnel au cube du demi-grand axe de l’orbite(a 3 /T 2 = cte.).Bien entendu, ces lois ne sont pas seulement valables pour le mouvement des planètes autour duSoleil, mais aussi pour des satellites artificiels autour de la Terre. Nous traiterons ce cas particulierdans la suite.En orbite terrestre, la terminologie change légèrement. Le point le plus proche du foyer s’appellepérigée, le plus loin apogée. Les termes utilisés dans le cas général sont périapside et apoapside.Dans la Fig. 2.1, les termes couramment utilisés sont illustrés, en particulier la paramétrisationchoisie pour décrire la cinématique du mouvement.L’anomalie vraie est l’angle courant du satellite compté à partir du périgée. La forme et les dimensionsde l’ellipse sont déterminées par l’excentricité e, le demi-grand axe a et le demi-petit axeb = a √ 1 − e 2 .Les distances du périgée et de l’apogée du foyer sont données par r P = a(1 − e) et r A = a(1 + e).On appelle la ligne qui relie le périgée et l’apogée la ligne des apsides. Un autre point important estle semilatus rectum, le point dont l’anomalie vraie est π/2. Sa distance du foyer est p = a(1 − e 2 ).En plus de la forme de l’orbite, l’évolution temporelle des grandeurs qui ne restent pas constantesnous intéresse bien entendu, en d’autres termes le rayon R et l’anomalie vraie ν. Le rayon, qui dépendde l’anomalie vraie, est donné par l’expression suivante :R =1. Johannes Kepler (1571 – 1630), astronome allemand2. Tycho Brahe (1546 – 1601), astronome danoisp1 + e cos ν = a(1 − e2 )1 + e cos ν(2.1)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux