Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.4 Modèle linéaire fractionnaire 139Développement de TaylorLe développement de Taylor des deux fonctions trigonométriques représente une deuxième possibilité.Les fonctions sin x et cos x s’écrivent comme suit :∞∑sin x = (−1) k x 2k+1(2k + 1)! = x − x36 + x5120 − . . .k=0∞∑cos x = (−1) k x2k(2k)! = 1 − x22 + x424 − . . .k=0En arrêtant le développement à l’ordre N, nous obtenons des polynômes d’ordre N et N −1 pour lesdeux fonctions, respectivement. Les polynômes se mettent facilement sous forme linéaire fractionnairedont les ordres sont également N et N − 1. Pour N = 3, il vient sin x ≈ x − x3x26et cos x ≈ 1 −2 . Ennotation matricielle, nous obtenons :M sin =M cos =⎛⎜⎝⎛⎜⎝0 1 0 10 0 1 00 0 0 −1/61 0 0 00 1 00 0 −1/21 0 1⎞⎞⎟⎠ , n δ = 3 (4.13)⎟⎠ , n δ = 2L’avantage de cette représentation est qu’il ne faut qu’un seul δ pour modéliser à la fois les deuxfonctions trigonométriques. L’inconvénient est que le modèle n’est jamais exact, en particulier pourde grands angles, dû à l’interruption du développement de Taylor. Plus on demande de précision,plus il faut augmenter l’ordre du développement.Cette méthode est utilisée quelques fois en pratique, par exemple dans les travaux de Döll surla modélisation d’avions (cf. [47]). Des développements d’ordre 4 ou 5 peuvent être utilisés parceque l’on peut souvent se restreindre à des angles relativement petits, par exemple [−10 ◦ , 10 ◦ ], dansles applications aéronautiques. La Fig. 4.4 montre des modèles issus de développements de Taylord’ordres différents.Approximation de PadéL’approximation de Padé 8 est plus puissante que le développement de Taylor. Une approximationde Padé est un développement dans une fonction rationnelle f(x) dont les premières dérivéessont identiques à celles de la fonction exacte :f(x) =∑ npk=0 p kx k1 + ∑ n qk=1 q kx k (4.14)8. Henri Eugène Padé (1863 – 1953), mathématicien françaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux