Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

146 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATION4.4.3 Modélisation linéaire fractionnaire de la dynamique en translationLes équations de Clohessy-Wiltshire ne comportent pas de paramètre variant. Par conséquent,une mise sous forme linéaire fractionnaire n’est ni possible ni utile.Les équations de Lawden, c’est-à-dire la dynamique relative en orbite elliptique non perturbée,dépendent d’un seul paramètre variant, l’anomalie vraie ν qui varie entre 0 et 2π. Le Tab. 4.3illustre les tailles des modèles linéaires fractionnaires en fonction de la façon dont les fonctions trigonométriquessont modélisées.Table 4.3 – Modèles linéaires fractionnaires des équations de LawdenReprésentationchoisie pour sin νet cos νTaille du modèleà trois axes(r-c-o)Taille du modèleà deux axes(r-c)Taille du modèlemono-axe (o)δ 1 = cos ν n δ1 = 11 n δ1 = 8 n δ1 = 3δ 2 = sin ν n δ2 = 2 n δ2 = 2 n δ2 = 0n ∆ = 13 n ∆ = 10 n ∆ = 3δ = tan ν 2n δ = n ∆ = 22 n δ = n ∆ = 16 n δ = n ∆ = 6δ = tan ν 4n δ = n ∆ = 44 n δ = n ∆ = 32 n δ = n ∆ = 12La boîte à outil de Magni offre des moyens puissants pour trouver la réalisation minimale d’unereprésentation linéaire fractionnaire, c’est-à-dire la réalisation avec la plus petite taille de la matricedes paramètres ∆ possible. Les tailles indiquées dans le Tab. 4.3 sont les tailles minimales.Bien entendu, il est également possible de mettre sous forme linéaire fractionnaire les deux modèlesdynamiques prenant en compte le deuxième harmonique zonal. Comme nous l’avons mentionné cidessus,ces modèles comportent deux paramètres variants, l’anomalie vraie ν et l’argument du périgéeω. Les deux paramètres peuvent être pris en compte dans la représentation linéaire fractionnaire. LeTab. 4.4 montre les tailles du premier modèle.Table 4.4 – Modèles linéaires fractionnaires pour le premier modèle tenant compte du deuxièmeharmonique zonalModèle choisi poursin ν et cos νTaille du modèleà trois axes(r-c-o)δ 1 = cos ν n δ1 = 21δ 2 = sin ν n δ2 = 6δ 3 = cos ω n δ3 = 6δ 4 = sin ω n δ4 = 6n ∆ = 39δ 1 = tan ν 2n δ1 = 42δ 2 = tan ω 2n δ2 = 12n ∆ = 54δ 1 = tan ν 4n δ1 = 84δ 2 = tan ω 4n δ2 = 24n ∆ = 108Le Tab. 4.5 contient les tailles du deuxième modèle. Pour l’angle ω, la même représentation a étéchoisie que pour l’angle ν, mais il est également possible de mélanger les représentations, en prenantCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux