Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

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246 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATION(a) Après la deuxième transformation(b) Après la troisième transformationFigure 5.33 – Hyper-ellipsoïde de Lyapunov (bleu tireté-pointillé) et de covariance (vert continu)après la deuxième et troisième transformation pour le cas d’une ellipse (n = 2)distance entre le point Ξ (le centre de l’hyper-sphère (ξ−Ξ) T (ξ−Ξ) = 1) et l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1est plus grande que 1. D’ailleurs, nous entendons par distance entre un point et un hyper-ellipsoïde ladistance entre un point et le point le plus proche sur l’hyper-ellipsoïde.Un problème fondamental lié à la prise en compte du bruit est que les calculs doivent être suffisammentsimples pour pouvoir les effectuer sur un ordinateur de bord. À titre d’exemple, les transformationsaffines que nous venons de présenter sont d’une complexité prohibitive et doivent donc êtrecalculées au sol. Ceci est exactement notre intention.Dans la suite, nous montrerons comment l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1 et l’hyper-sphère(ξ − Ξ) T (ξ − Ξ) = 1 (dont les expressions peuvent être calculées au sol) peuvent être exploités avecdes moyens relativement simples afin de déterminer si l’hyper-ellipsoïde de covariance ε S est situéentièrement dans l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov.En principe, la surface de commutation prenant en compte le bruit est l’ensemble des points dontla distance du point le plus proche sur l’hyper-ellipsoïde est 1 (soi-disant surface parallèle). Cependant,cette surface n’est pas un hyper-ellipsoïde. En général, elle possède des sommets non-différentiables,comme le montre la Fig. 5.34. Tous ces faits font présumer qu’il n’existe pas d’expression analytiquepour la surface parallèle d’un hyper-ellipsoïde. En effet, nous n’avons pas trouvé d’expression dans lalittérature.Faute d’expression analytique de la surface parallèle, nous sommes obligés de dériver un critèresimple à calculer, mais conservatif. Ensuite, un critère exact pour déterminer si l’hyper-ellipsoïde decovariance est situé à l’intérieur de l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov sera développé.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
5.5 Commutation entre correcteurs 247Figure 5.34 – Surface parallèle (en rouge continu) de distance 1 à l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1 (enbleu tireté-pointillé). L’hyper-cercle unité (en vert continu), dont le centre se trouve sur la surfaceparallèle, illustre que tous les points à son intérieur sont compris dans l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1.Ici, la surface parallèle possède deux non-différentiabilités situées aux extrémités horizontales.Stratégie simple mais conservativeConsidérons la Fig. 5.35. Elle illustre les hyper-ellipsoïdes de Lyapunov (ξ T Pξ = 1) et l’hypersphèrede covariance ((ξ−Ξ) T (ξ−Ξ) = 1) après la succession de transformations mentionnée ci-dessus.Figure 5.35 – Hyper-ellipsoïdes de Lyapunov (bleu tireté-pointillé) et de covariance (vert continu)dans le cas n = 2. Les lignes bleues pointillées correspondes à l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov, décaléde +1 et −1 selon tous les axes de coordonnées.L’hyper-ellipsoïde de Lyapunov transformé (ξ T Pξ = 1) peut être décalé de +1 et de −1 selonCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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