Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

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350 I. DISTANCE ENTRE UN HYPER-ELLIPSOÏDE ET UN POINTIci, x k est le k-ième élément du vecteur x.Les longueurs de ses demi-axes sont alors données parL k =1√pk.(I.4)En outre, il existe un point X ∈ R n dans le premier orthant à l’intérieur de l’hyper-ellipsoïde,c’est-à-dire qu’il faut queX T P X < 1 (I.5)X k > 0, k ∈ 1, . . . , n.La Fig. I.1 donne une illustration des faits mentionnés pour le cas d’une ellipse (n = 2).Figure I.1 – Ellipse ε P: {x|x T P x = 1} et point X à l’intérieurLe point ˆx le plus proche du point X sur l’hyper-ellipsoïde ε Pminimisation suivant :est la solution du problème deminx(x − X) T (x − X) (I.6)s.t. x T P x = 1La fonction objective (x − X) T (x − X) est une fonction convexe car sa dérivée seconde selon xvaut 2I > 0. Cependant, la contrainte x T P x = 1 n’est pas convexe. De ce fait, il peut y avoir desminima locaux.Comme notre objectif est de déterminer si la distance minimale d(ˆx, X) est supérieure ou inférieureà 1, il est très important de connaître le minimum global. Nous montrerons dans la suite deux algorithmesitératifs capables de fournir ce minimum global en restreignant la recherche au premierorthant.Par ailleurs, une condition nécessaire pour que la distance d(ˆx, X) soit supérieure à 1 est que lesCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
I.1 Premier algorithme 351longueurs des demi-axes de l’hyper-ellipsoïde ε P soient toutes supérieures à 1 :L i =1√pk> 1, k ∈ 1, . . . , n(I.7)I.1 Premier algorithmeLe premier algorithme est basé sur une idée de Vesely [183]. Cependant, notre interprétation estgéométrique plutôt que mécanique, ce qui nous permet de démontrer la convergence de l’approcheitérative.Dans cet algorithme, nous obtenons le point ˆx le plus proche du point X grâce à une approcheitérative. x (k) est l’approximation du point ˆx dans l’itération k. Le point initial x (0) est l’intersectionentre l’hyper-ellipsoïde ε P et la droite passant par l’origine 0 et le point X :x (0) =X√XT P X(I.8)Une itération k de l’algorithme consiste en plusieurs étapes :1. nous supposons que le point x (k−1) soit donné ;2. d’abord, le gradient n (k−1) (qui définit l’hyper-plan tangent à l’hyper-ellipsoïde) de la fonctionx T P x au point x (k−1) est calculé :3. ensuite, le vecteur reliant les points X et x (k−1) est déterminé :n (k−1) = 2P x (k−1) (I.9)f (k−1) = X − x (k−1) (I.10)4. la projection f (k−1)n du vecteur f (k−1) sur le vecteur n (k−1) peut être obtenue comme suit :f (k−1)n =)(I n − n(k−1) n (k−1)Tf (k−1)n (k−1)T n (k−1)(I.11)5. le point ˜x (k) est le point sur l’hyper-plan tangent au point x (k−1) qui est le plus proche du pointX :˜x (k) = x (k−1) + f (k−1)n(I.12)6. enfin, le nouveau point x (k) est l’intersection entre l’hyper-ellipsoïde ε P et la ligne droite reliantle point X et le point ˜x (k) :(x (k) = X + f)˜x (k) − X} {{ }∆(I.13)Pour que x (k) se trouve sur l’hyper-ellipsoïde ε P , il faut que (X + f∆) T P (X + f∆) = 1. Parconséquent, f est la solution positive (celle qui donne l’intersection dans le premier orthant) deCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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