Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

D.2 Deuxième harmonique zonal (J 2 ) 331D.2 Deuxième harmonique zonal (J 2 )Le même calcul peut être fait concernant le potentiel dû à l’aplatissement de la Terre U ⊕,J2 . Il estdonné par l’équation suivante :U ⊕,J2 = µ ⊕J 2 R 2 ⊕2R 3 (1 − 3 sin 2 ϕ) (D.9)=µ ⊕ J 2 R⊕2 R−→2(R −→ · −→ R) · · −→ R − 3(R −→ · −→ e K ) 23/2 −→ −→R · RNous avons utilisé la relation suivante (cf. la définition du produit scalaire dans l’Éq. (C.17) et ladéfinition de l’angle ϕ dans la Fig. 2.9, page 32) :−→R · −→ eK = cos(π/2 − ϕ) · ‖R −→ ‖ · ‖ −→ e K ‖ (D.10)= sin ϕ · (R −→ · R −→ ) 1/2Comme dans le cas du champ sphérique, nous pouvons obtenir le gradient −→ f ⊕,J2 (R −→ ) par dérivation.Il faut d’abord décomposer U ⊕,J2 (R −→ ) en posant g(R −→ ) =1(R −→·R −→ ) 5/2 et h(R−→ ) = (R −→ · R −→ ) − 3(R −→ · −→ e K ) 2et calculer les gradients de g(R −→ ) et de h(R −→ ) :−→∇g (R −→ ) =1−5/2(R −→ · −→ R) (2R−→ ) 7/2 (D.11)=−5R −→(R −→ · −→ R) 7/2−→∇h (R −→ ) = 2R −→ − 3 · 2(R −→ · −→ e K ) −→ ∇−→·−→ R eK(R −→ )= 2R −→ − 3 · 2(R −→ · −→ e K ) −→ e K= 2R −→ − 6(R −→ · −→ e K ) −→ e KLe gradient −→ f ⊕,J2 (R −→ ) se calcule alors comme suit :−→ f ⊕,J2 (R −→ ) = µ ⊕J 2 R 2 ⊕2= µ ⊕J 2 R 2 ⊕2==+[g(R −→ ) −→ ∇ h (R −→ ) + h(R −→ ) −→ ∇ g (R −→ ]){1[(R −→ · −→ 2R −→ − 6(R −→ · −→ e K ) −→ ]e KR) 5/2[(R −→ · −→ R) − 3(R −→ · −→ e K ) 2] −5R −→ }(R −→ · −→ R) 7/2µ ⊕ J 2 R⊕2 {2(R −→ · −→ R) · 2(R −→ · −→ R)R −→ − 6(R −→ · −→ e K )(R −→ · −→ R) −→ e K7/2−5(R −→ · R −→ )R −→ + 15(R −→ · −→ e K ) 2 R −→}3µ ⊕ J 2 R⊕2 {−(R2(R −→ · −→ R) · −→ · −→ R)R −→ − 2(R −→ · −→ e K )(R −→ · −→ R) −→ e K + 5(R −→ · −→ e K ) 2−→}R 7/2(D.12)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux