Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

344 H. LA SYNTHÈSE H 2Les dimensions des matrices d’état A et A K (nombre d’états) sont n et n K , respectivement.Les dimensions des autres matrices B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , D 11 , D 12 , D 21 , D 22 , B K et C K peuvent êtredéterminées à partir des nombres m 1 , m 2 , p 1 , p 2 , n et n K .Dans une notation plus condensée, mais toujours dans la représentation d’état, le système généraliséP et le correcteur K s’écrivent :⎡⎤A B 1 B []2⎢⎥A K B KP : ⎣ C 1 D 11 D 12 ⎦ , K :(H.3)C K 0C 2 D 21 D 22La notation sous forme de matrice de transfert est la suivante :[]P 11 (s) P 12 (s)P :, K : [ K(s) ] (H.4)P 21 (s) P 22 (s)L’objectif de la synthèse H 2 est de minimiser la norme H 2 du transfert entre w et z. La norme H 2d’une matrice de transfert F (s) est définie comme suit :‖F (s)‖ 2 =√12π∫ ∞−∞tr [F (iω)F (iω) H ] dω(H.5)F (iω) H est la matrice hermitienne de F (iω), c’est-à-dire la matrice transposée et conjuguée deF (iω). tr (M) est la trace d’une matrice carrée M, c’est-à-dire la somme des éléments diagonaux deM. La trace de F (iω)F (iω) H est toujours réelle et non-négative. Par conséquent, la norme H 2 estégalement réelle et non-négative.En fait, la norme H 2 du transfert F l (P (s), K(s)) permet deux interprétations différentes, uneinterprétation déterministe et une interprétation stochastique :1. le signal w(t) est une fonction δ de Dirac 1 (ou impulsion de Dirac) dont la définition est lasuivante :δ(t) =avec{ ∞ pour t = 00 pour t ≠ 0∫ ∞−∞δ(t)dt = 1(H.6)La norme H 2 représente alors l’énergie de la sortie contrôlée z(t) qui est, comme l’entrée exogènew(t) = δ(t), un signal déterministe :‖F (s)‖ 2 = limT →∞√ ∫ T0tr [z(t)z(t) T ] dt ;(H.7)2. la deuxième possibilité est un bruit blanc gaussien stationnaire d’intensité unitaire à l’entréeexogène w(t) :E{w(t)w(τ) T } = I m1 δ(t − τ) (H.8)1. Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984), physicien et mathématicien britanniqueCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux