Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

Annexe DCalcul des gradients et hessiensd’un champ de gravitationSommaireD.1 Potentiel terrestre sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330D.2 Deuxième harmonique zonal (J 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331Soit une fonction vectorielle f −→ ( x −→ ). Elle peut être approchée au premier ordre par l’expressionsuivante :−→f (−→ −→ x ) ≈ f (−→ x0 ) + −→ −→J −→( −→ x f 0 ) · ( −→ x − −→ x 0 ) (D.1)−→ J−→ f −→(−→ x 0 ) est la dyade jacobienne 1 ou simplement jacobienne évaluée à l’endroit −→ x 0 . Quelques règlespour calculer la jacobienne sont données dans l’ouvrage [123]. Nous avons traduit les deux règles dontnous aurons besoin dans la suite en notation vectorielle :−→ J−→ f −→· g −→ ( x −→ ) = f −→ ( x −→ ) · −→ J −→ g−→( x −→ ) + g −→ ( x −→ ) · −→ J −→ f−→( x −→ ) (D.2)−→ J−→f g −→ ( x −→ ) = f( x −→ ) −→ J −→ g−→( x −→ ) + g −→ ( x −→ ) ⊗ −→ ∇ f ( x −→ ) (D.3)La première règle donne la jacobienne d’un produit scalaire de deux fonctions vectorielles f −→ ( x −→ )et g −→ ( x −→ ), tandis que la deuxième donne celle d’un produit entre une fonction scalaire f( x −→ ) et unefonction vectorielle g −→ ( x −→ ). −→ ∇ f ( x −→ ) est le gradient de la fonction scalaire f( x −→ ).Il est important de noter que les règles de base pour calculer des dérivées, comme la règle dedérivation en chaîne, sont toujours valables. En outre, l’identité suivante nous sera utile :−→ J−→ x −→ ( x −→ ) = −→ 1 −→(D.4)Il faut noter également que toutes ces relations sont également applicables aux fonctions scalairesf( x −→ ). Les règles peuvent être interprétées de façon analogue.1. Nous ne l’appelons pas matrice jacobienne ici car les calculs sont effectués en notation vectorielle.329