Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

322 C. NOTIONS DE BASE EN CINÉMATIQUE ET EN DYNAMIQUEFigure C.3 – Rotations élémentaires autour des axes 1 (à gauche), 2 (au centre) et 3 (à droite)La deuxième catégorie est donnée par les angles de Cardan. Ici, la séquence consiste en uneséquence de rotations dans laquelle apparaissent tous les axes :⎛C BA = C I (θ 1 )C II (θ 2 )C III (θ 3 ) = ⎝avec s 1 = cos θ 1 , s 2 = sin θ 2 , etc.c 2 c 3 c 2 s 3 −s 2⎞s 1 s 2 c 3 − c 1 s 3 s 1 s 2 s 3 + c 1 c 3 s 1 c 2⎠(C.39)Les angles de Cardan θ 1 , θ 2 et θ 3 sont utilisés dans les mondes aéronautique et spatial et connuscomme angles de roulis, tangage et lacet. Là, ils sont curieusement souvent appelés angles d’Euler.Il existe beaucoup d’autres représentations d’attitude, comme les paramètres d’Euler ou les quaternionsunité, qui servent surtout à surmonter des singularités apparaissant dans les angles d’Euleret de Cardan. Néanmoins, nous raisonnerons avec les matrices de rotation lors de la phase demodélisation du vol en formation pour des raisons de compréhensibilité.Nous dirons encore quelques mots sur les simplifications envisageables lorsqu’il s’agit de petitesrotations, c’est-à-dire des rotations avec des angles très petits. Dans ce cas, la matrice de rotationC BA peut être approximée au premier ordre avec l’expression suivante :⎛C BA ≈ I 3 − θ × = ⎝1 θ 3 −θ 2−θ 3 1 θ 1θ 2 −θ 1 1⎞⎠(C.40)La relation suivante est également vraie :⎛C AB ≈ I 3 + θ × = ⎝1 −θ 3 θ 2θ 3 1 −θ 1−θ 2 θ 1 1⎞⎠(C.41)Ici, θ est la matrice colonne contenant les trois (petits) angles de Cardan. Il est important desavoir que, dans le cas des petites rotations, l’ordre des trois rotations est sans importance, le produitde matrices de rotations aux petits angles est commutatif. L’expression (C.40) peut être déduite deCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux