Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

178 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATIONdu correcteur est connue de façon explicite. En effet, les matrices A réf et B réf du modèle de référencesont constantes. Les matrices A G , B G et C G sont les matrices variantes de la dynamique dont nousconnaissons l’expression analytique. Ceci nous permet de seulement effectuer une interpolation desmatrices K f,1 , K c,1 et K c,2 et d’utiliser les expressions exactes pour les matrices A réf et B réf , A G , B Get C G . Grâce à cette approche, il est possible d’économiser beaucoup de mémoire sur le calculateurde bord.Il est important à noter que, même si l’évolution des matrices du correcteur est continue, elle n’estpas différentiable partout. Les points auxquels la dérivée de l’évolution (soit en fonction du temps t,soit en fonction de l’anomalie vraie ν) des matrices du correcteur est discontinue sont les points desynthèse. Ce fait est susceptible de détériorer la qualité de l’asservissement en boucle fermée.Séquencement avec une série de FourierUne deuxième possibilité afin de séquencer le correcteur en fonction de l’anomalie vraie ν est d’avoirrecours à une série de Fourier. Cette approche a déjà été présentée dans le contexte du séquencementdes correcteurs modaux. Les seules différences sont le nombre et la taille des matrices à développeren une série de Fourier. Ainsi, la série de Fourier concernant la matrice A K peut être calculée àpartir des matrices A K,n comme suit :A K,k =N est le nombre de points de synthèse.N−1∑n=0avec k = 0, . . . , N − 1L’expression de la matrice A K (ν) est alors la suivante :⎡A K (ν) = 1 ⎣A K,0 +N(N−1)/2∑k=1A K,n e − 2πiN kn (4.80)(2R(A K,k ) cos (kν) − 2I(A K,k ) sin (kν)) ⎦ (4.81)Il peut s’avérer suffisant d’utiliser une série de Fourier tronquée. La restriction de la série deFourier à la moyenne et N ′ harmoniques donne :⎡⎤A K (ν) = 1 ∑N ′⎣A K,0 + (2R(A K,k ) cos (kν) − 2I(A K,k ) sin (kν)) ⎦ (4.82)Nk=1Un fait marquant concernant le séquencement en utilisant une séquence de Fourier est quel’évolution des matrices, par exemple celle de A K (ν), est continue et différentiable. Par conséquent,le correcteur est susceptible d’être plus lisse que le correcteur obtenu par interpolation linéaire.Comme dans le cas de l’interpolation linéaire, il est possible d’utiliser l’expression analytique desmatrices connues, c’est-à-dire des matrices A réf et B réf , A G , B G et C G , et d’avoir recours à la série deFourier uniquement pour les matrices K f,1 , K c,1 et K c,2 .⎤Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux