Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

138 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATIONUn facteur important à ne pas oublier est qu’il existe des outils numériques pour établir desmodèles linéaires fractionnaires. Magni [110, 111] a conçu une boîte à outils capable de manipulerdes représentations linéaires fractionnaires. En particulier, de nombreuses opérations matricielles (parexemple addition, multiplication, inversion, calcul d’un noyau, etc.) peuvent être effectuées facilement.Il est important de noter que le résultat d’une telle opération est toujours une nouvelle représentationlinéaire fractionnaire. L’équation suivante, qui montre comment l’addition de deux représentationslinéaires fractionnaires M et N est effectuée, sert d’exemple illustratif pour cette approche :() (M 11 M 12+M 21 M 22)N 11 N 12=⎛⎜⎝⎞M 11 0 M 12⎟0 N 11 N 12 ⎠ (4.11)M 21 N 21 M 22 + N 22Ainsi, il est possible d’assembler un modèle très complexe à partir d’expressions élémentaires quisont sous forme linéaire fractionnaire. Nous suivrons exactement cette approche lors de la mise sousforme linéaire fractionnaire de la dynamique relative en orbite terrestre.4.4.2 Modélisation linéaire fractionnaire des fonctions trigonométriquesLe problème majeur lors de la mise sous forme linéaire fractionnaire dans la cas de la dynamiquerelative en orbite terrestre est l’établissement des expressions élémentaires, notamment des fonctionstrigonométriques sin ν et cos ν. Ces fonctions ne sont pas des fonctions rationnelles et, par conséquent,elles ne se prêtent pas naturellement à une mise sous forme linéaire fractionnaire.Dans la suite, nous montrerons quatre possibilités différentes pour mettre sous forme linéairefractionnaire les fonctions trigonométriques sin ν et cos ν. Nous n’oublierons pas de mentionner lesavantages et les inconvénients associés à chacune de ces alternatives.Modélisation indépendanteLa première possibilité est de modéliser les deux fonctions trigonométriques sin x et cos xséparément, c’est-à-dire que le sinus est modélisé en utilisant un premier paramètre δ 1 et le cosinusavec un deuxième paramètre δ 2 . Les deux paramètres sont déjà normalisés à l’intervalle [−1, 1] carles images des fonctions sin x et cos x sont [−1, 1]. En notation matricielle, les deux représentationslinéaires fractionnaires s’écrivent comme suit :M sin =M cos =((0 11 00 11 0)), n δ1 = 1 (4.12), n δ2 = 1Hélas, cette méthode a l’inconvénient de ne pas prendre en compte la dépendance entre les deuxfonctions, c’est-à-dire sin 2 x + cos 2 x = 1 (théorème de Pythagore 7 ). En fonction de l’applicationde la forme linéaire fractionnaire, ce fait est plus ou moins grave. Dans le cas d’une synthèse d’uncorrecteur séquencé, la non-dépendance entre les deux fonctions trigonométriques n’est pas toujoursgênante. Cependant, si l’on veut utiliser le modèle linéaire fractionnaire pour une µ-analyse, on risqued’obtenir des résultats conservatifs car on n’utilise pas la totalité des informations disponibles.7. Pythagore (580 av. J.-C. – 490 av. J.-C.), mathématicien, philosophe et astronome grecCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux