Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

102 3. MODÈLE COUPLÉ EN TRANSLATION ET EN ROTATIONLa différence de marche ∆l ij est la différence entre les chemins optiques réel et nominal :∆l ij = l ij − l ij,0 (3.97)= − −→ n T ·(∆ −→ r c + −→ r i + ∆ −→ r i + −→ d i − −→ d i,0 − −→ )r i,0+ −→ n T · −→ (M −→i · −→rj+ ∆ −→ r j + −→ d j − −→ r i − ∆ −→ r i − −→ )d i− −→ n T · −→ (M −→i,0 · −→rj,0+ −→ d j,0 − −→ r i,0 − −→ )d i,0Cette expression de ∆l ij ne fait intervenir que des variables connues, c’est-à-dire les propriétésgéométriques de la formation nominale et les déplacements et dépointages de la formation réelle parrapport à la formation nominale.Maintenant, il faut encore traduire l’Éq. (3.97) en notation matricielle pour pouvoir l’utiliserplus tard. Nous projetons alors tous les vecteurs dans le repère inertiel F I , par exemple−→dj = FI T C 0C c ∆C c C j ∆C j d j :∆l ij = −n T T C 0 (∆r c + C c ∆C c r i + C c ∆C c ∆r i + C c ∆C c C i ∆C i d i − C c C i d i − C c r i ) (3.98)+n T T C 0 C c ∆C c C i ∆C i M i ∆C T i C T i (r j + ∆r j + C j ∆C j d j − r i − ∆r i − C i ∆C i d i )−n T T C 0 C c C i M i C T i (r j + C j d j − r i − C i d i )La linéarisation s’effectue, comme celle de la dynamique, en remplaçant les matrices de passagecommençant par ∆ par leurs expressions linéarisées, comme par exemple :∆C i ≈ I 3 + ∆θ × i (3.99)En outre, tous les termes d’ordre supérieur en ∆ sont négligés.L’expression linéaire de ∆l ij devient maintenant :∆l ij = −n T [T C 0 ∆rc − C c (r i + C i d i ) × ∆θ c + C c ∆r i − C c C i d × i ∆θ ]i+n T T C 0 C c C i M i CiT (∆rj − C j d × j ∆θ j − ∆r i + C i d × i ∆θ i)+n T T C 0 C c C i M i Ci T (r j + C j d j − r i − C i d i ) × [C i (I3 − M i ) ∆θ i − M i Ci T ]∆θ c= −n T [T C 0 ∆rc − C c (r i + C i d i ) × ∆θ c + C c ∆r i − C c C i d × i ∆θ ]i+n T T C 0 C c C i M i CiT (∆rj − C j d × j ∆θ j − ∆r i + C i d × i ∆θ i)(3.100)L’expression n T T C 0C c C i M i Ci T (r j + C j d j − r i − C i d i ) × s’annule car n T T C 0C c C i M i Ci T etr j + C j d j − r i − C i d i sont linéairement dépendants. L’Éq. (3.100) ne dépend donc que desdéplacements ∆r c , ∆r i et ∆r j et des dépointages ∆θ c , ∆θ i et ∆θ j .Comme le but initial était de déterminer la différence de marche entre les deux faisceaux lumineuxreflétés par les deux miroirs sur les vaisseaux sidérostat, nous devons encore écrire la différence demarche par rapport à la configuration nominale du sidérostat k :∆l kj = −n T [T C 0 ∆rc − C c (r k + C k d k ) × ∆θ c + C c ∆r k − C c C k d × k ∆θ ]k+n T T C 0 C c C k M k CkT (∆rj − C j d × j ∆θ j − ∆r k + C k d × k ∆θ k)(3.101)La différence des deux différences de marche ∆l kj et ∆l ij nous donne l’expression pour la différenceCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux