Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

160 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATIONEn conclusion, nous pouvons dire que la matrice I n∆ − K 11 ∆ est inversible pour toutes les valeursadmissibles de δ 1 et δ 2 si deux correcteurs distincts sont utilisés. Il semble que l’inversion pose unproblème lorsque l’on synthétise un seul correcteur pour les trois axes. Ceci dit, un seul correcteurpeut également être obtenu par assemblage des deux correcteurs séparés.Inversion itérativeMême si l’inversion directe de la matrice I n∆ − K 11 ∆ est possible en principe, elle est lourde àfaire sur un ordinateur de bord. Pour cette raison, une solution itérative a été proposée par Magniet al. [110, 114].Cette solution itérative est connue sous le nom d’itération de Richardson. Elle est courammentutilisée afin de résoudre des systèmes d’équations linéaires. Nous faisons d’abord les deux définitionssuivantes :Q = K 11 ∆ (4.52)b = K 12 xBasé sur ces définitions, nous effectuons l’itération suivante :z k+1 = Qz k + b (4.53)Bien entendu, il faut choisir une valeur initiale z 0 . Une possibilité est de choisir le vecteur nul.Une alternative est l’utilisation de la valeur finale de z qui a été obtenue lors du dernier calcul ducorrecteur.L’itération définie dans l’Éq. (4.53) est répétée jusqu’à convergence. Le critère d’interruption pourraitêtre le suivant :‖z k+1 − z k ‖ 2 < ε (4.54)ε est une constante positive de faible taille, par exemple ε = 10 −6 .Enfin, la commande u peut être calculée grâce à l’équation suivante :u = K 22 x + K 21 ∆z (4.55)En régime convergé, les équations suivantes sont vraies :z = Qz + b (4.56)z = (I n∆ − Q) −1 b= (I n∆ − K 11 ∆) −1 K 12 xu = [ K 22 + K 21 ∆(I n∆ − K 11 ∆) −1 ]K 12 xOr, nous observons l’équivalence entre cette dernière équation et l’expression initiale du correcteur,cf. Éq. (4.48).Néanmoins, il se pose la question si et sous quelles conditions l’itération (4.53) converge. UneCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux