Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

C.1 Cinématique 319Nous utiliserons la notation suivante pour écrire la dérivée d’un vecteur ou d’une dyade dans unrepère inertiel :ddt∣ −→ •s =−→s (vecteur)(C.25)i •d−→ −→dt∣ J−→ =−→ J (dyade)iComme un scalaire ne dépend pas du choix du repère, on n’a pas besoin d’indiquer le repère danslequel la dérivée d’un scalaire est calculée. Nous utiliserons la notation suivante :ddt m = ṁ(C.26)Lorsque des repères non inertiels interviennent, les dérivées de vecteurs ou de dyades sont plusdifficiles à écrire.Les dérivées d’un vecteur ou d’une dyade dépendent de l’état de mouvement du repère dans lequelelles sont observées. Si l’observateur se trouve dans un repère F f fixe dans l’espace, les composantesde la dérivée d’un vecteur −→ v , par exemple, s’écrivent comme suit :•−→ dv = dt∣ (Ff T v f ) = d idt∣ Ff T v + Ff T ˙v = Ff T ˙v f(C.27)idcardt∣ F f = 0iIl est tout à fait légitime d’écrire ˙v f car il n’existe pas d’ambiguïté concernant la dérivée d’unematrice colonne.Par contre, si nous supposons un repère mobile F m , les calculs commencent à être plus compliquésque précédemment :•−→ dv = dt∣ (Fmv T m )(C.28)i= Fm T ˙v m + d dt∣ Fmv T mi◦=−→ dv + dt∣ Fmv T mi◦Ici,−→v est la dérivée du vecteur−→ v vue d’un observateur dans le repère mobile Fm . Si le vecteur◦−→v est fixe par rapport à ce repère mobile,−→v s’annule.Le problème est de connaître la dérivéed ∣dt iF m de la vectrice F m . Comme le repère F m est enrotation par rapport au repère dit inertiel, F i , on peut lui associer une quantité vectorielle appeléevitesse angulaire −→ ω mi . À l’inverse, on peut considérer que le repère F i est en rotation par rapport aurepère F m , avec la vitesse angulaire −→ ω im . La relation entre ces vitesses angulaire est la suivante :−→ ωmi + −→ ω im = 0 −→(C.29)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux