Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

144 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATIONutilisant la formule d’angle moitié une seconde fois, c’est-à-dire en écrivant les équations suivantes :sin x 2 = 2 tan x 41 + tan 2 x 4cos x 2 = 1 − tan2 x 41 + tan 2 x 4tan x 2 = sin x 2cos x 2(2 tan x=4✘✘ ✘✘ ✘✘ )1 + tan2 x4(✘ ✘ ✘ ✘✘ ✘) (1 + tan2 x4 1 − tan2 x4Maintenant, sin x et cos x peuvent être écrits comme suit :sin x = 2 tan x 21 + tan 2 x 2cos x = 1 − tan2 x 21 + tan 2 x 2) = 2 tan x 41 − tan 2 x 4( )4 tan x 4=( ) [ 4 tan x]4 1 − tan2 x 2 ✄4= (1 − tan2 x41 + 4 tan2 x 4✘(1−tan 2 x 4 ) ✘ ✘ ✘✘ ✘) ( )1 − tan2 x2 4 1 + tan2 x 2(4.23)4=1 − 4 tan2 x 4 ( )(1−tan 2 x 4 ) 21 + tan2 x 24 − 8 tan2 x4=1 + 4 ( ) tan2 x41 + tan2 x 2(4.24)(1−tan 2 x 4 ) 2 4En notation matricielle, il vient :M sin =M cos =⎛⎜⎝⎛⎜⎝0 −1 2 0 −11 0 0 0 00 0 0 −1 10 0 1 0 04 0 0 0 00 −1 2 0 01 0 0 0 00 0 0 −1 10 0 1 0 0−4 0 0 0 1⎞, n⎟ δ = 4 (4.25)⎠⎞, n⎟ δ = 4⎠Finalement, nous pouvons poser δ = tan x 4. La Fig. 4.8 montre le sinus et le cosinus en fonction duparamètre δ. L’avantage par rapport à la représentation d’ordre deux est la couverture de la totalitéde l’évolution des fonctions trigonométriques (x ∈ [− π 2 + 2kπ; 3π 2+ 2kπ], k ∈ Z). L’inconvénient estla taille accrue.Représentation d’ordre un des fonction trigonométriquesBien qu’une représentation d’ordre un en fonction d’un seul paramètre δ soit souhaitable, nousavons pu montrer qu’il n’existe– ni de représentation d’ordre un à la fois pour les deux fonctions trigonométriques sin x et cos x ;– ni de représentation d’ordre un pour une des deux fonctions trigonométriques sin x et cos x etune représentation d’ordre deux pour l’autre.Les détails de la démonstration de cette non-existence se trouvent dans l’Annexe E.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux