Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.5 Contrôle modal auto-séquencé 165Table 4.8 – Comparaison des besoins de mémoire (nombre de scalaires à stocker) d’un correcteurLFT avec un correcteur sous forme d’une série de Fourier avec différents nombres d’harmoniques(N ′ = 4 et N ′ = 8)Type de correcteur m n n ∆ LFT Fourier Fourier(N ′ = 4) (N ′ = 8)Complet (3 axes) 3 6 78 6804 162 306Dans le plan orbital (2 axes) 2 4 20 528 72 136Hors-plan (1 axe) 1 2 6 56 18 344.5.6 Analyse de stabilitéMême si la stabilité du système en boucle fermée semble garantie par le fait que l’on place despôles dont l’endroit ne varie pas le long de l’orbite, il peut se présenter le cas contraire. En effet, ilpeut être avantageux de vouloir imposer une dynamique à paramètre variant en boucle fermée, parexemple pour imposer des spécifications différentes pour l’apogée et le périgée. Le système en bouclefermée devient alors un système à paramètre variant dont la stabilité n’est pas garantie.En outre, les techniques que nous avons proposées afin d’implanter le correcteur plus facilement,c’est-à-dire l’inversion par itération et les séries de Fourier, font que la dynamique réelle ne correspondplus exactement à la dynamique spécifiée.Par conséquent, il faut disposer d’une méthode pour vérifier la stabilité de la boucle fermée. Commeil s’agit d’un système à paramètre variant, mais également périodique, l’analyse de Floquet 11 est unoutil puissant pour réaliser l’objectif d’analyser la stabilité. Cet outil a démontré ses capacités dansdes applications réelles, par exemple le contrôle des hélicoptères [119]. Il existe même une extension dela méthode afin d’effectuer des analyses de robustesse vis-à-vis d’incertitudes structurées de systèmespériodiques, cf. [89].L’analyse de Floquet est décrite en détail dans l’Annexe G. Elle exige une dynamique linéairede la forme suivante :dx = A(t)x (4.66)dtLa matrice de transition R = Φ(t 0 + T, t 0 ) ∈ R n×n entre un instant initial t 0 et un deuxièmeinstant avec un décalage d’une période (orbite) t 0 + T peut facilement être obtenue par intégrationdu système d’équations différentielles suivant :ddt Φ(t, t 0) = A(t)Φ(t, t 0 ) (4.67)La condition initiale est Φ(t 0 , t 0 ) = I n . Le choix de l’instant t 0 est sans importance pour l’analysede la stabilité de la boucle fermée.Les valeurs propres µ k , k = 1, . . . , n, de la matrice R que l’on appelle multiplicateurs caractéristiquespermettent de conclure la stabilité ou non-stabilité du système. En fait, le système eststable si et seulement si les multiplicateurs caractéristiques µ k se trouvent sans exception à l’intérieurdu cercle unité. En d’autres termes, il faut que leurs modules |µ k | soient inférieurs à 1.11. Achille Marie Gaston Floquet (1847 – 1920), mathématicien françaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux