Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.4 Modèle linéaire fractionnaire 141représentation linéaire fractionnaire n δ , c’est-à-dire la répétition du paramètre δ, est identique aumaximum des ordres du numérateur et du dénominateur.L’approximation de Padé est plus économique que la série de Taylor parce que, avec la mêmetaille de la représentation linéaire fractionnaire, elle fournit une approximation beaucoup plus précise.La Fig. 4.5 montre la qualité des approximations mentionnées ci-dessus.10.50−0.5−1−3.1416 −1.5708 0 1.5708 3.1416Figure 4.5 – Approximations de Padé d’ordres différents. Rouge : cos x ; bleu : sin x ; lignes continues :fonctions exactes ; lignes pointillées : développement d’ordre 4 (sin x) et 5 (cos x) ; lignes pointilléestiretées: développement d’ordre 6 (sin x) et 9 (cos x) ; ligne tiretée : développement d’ordre 8 (sin x)Représentation d’ordre deux des fonction trigonométriquesSelon une idée de Manceaux-Cumer et Chrétien (cf. [117]), il est possible de traduire lesfonctions trigonométriques sin x et cos x en ayant recours aux formules d’angle moitié.En effet, il est possible d’établir les deux relations suivantes :sin x = 2 tan x 21 + tan 2 x 2cos x = 1 − tan2 x 21 + tan 2 x 2et (4.17)Maintenant, nous pouvons poser δ = tan x 2, ce qui fournit les représentations suivantes :sin x =cos x = 1 − δ21 + δ 22δ et (4.18)1 + δ2 Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux