Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

358 J. RÉDUCTION DE CORRECTEURSVarga [182] propose plusieurs pondérations possibles :– W i (s) = I et W o (s) = (I + G(s)K(s)) −1 G(s)– W i (s) = G(s)(I + K(s)G(s)) −1 et W o (s) = I– W o (s) = (I + G(s)K(s)) −1 G(s) et W i (s) = (I + G(s)K(s)) −1Les deux premières possibilités assurent la stabilité en boucle fermée, tandis que la troisièmepossibilité essaie de préserver la performance en boucle fermée.Il existe plusieurs algorithmes de réduction prenant en compte des pondérations fréquentielles, parexemple la troncature balancée avec pondération fréquentielle (FWBT, angl. frequency-weighted balancedtruncation) ou l’approximation à perturbation singulière avec pondération fréquentielle (FWSPA,angl. frequency-weighted singular perturbation approximation).L’atout de la réduction d’un correcteur avec pondération fréquentielle est que la dynamique dusystème G(s) est présente dans les pondérations, au moins si une des trois possibilités ci-dessus estchoisie. Ainsi, la stabilité en boucle fermée est préservée et on peut se permettre d’être moins prudentet de réduire le correcteur davantage.Comme nous l’avons mentionné à plusieurs reprises dans ce mémoire, la synthèse H 2 que nousutilisons pour la synthèse de nos correcteurs fournit une représentation particulière du correcteur,la forme estimation commande. Il serait dommage de ne pas profiter de ce fait pendant la phase deréduction.En effet, il est possible d’effectuer une décomposition en facteurs premiers (angl. coprime factorization)d’un correcteur sous forme estimation-commande K(s) de la façon suivante [182] :K(s) = M(s) −1 N(s) (décomposition en facteurs premiers de gauche) (J.2)ouK(s) = N(s)M(s) −1 (décomposition en facteurs premiers de droite)Les deux facteurs M(s) et N(s) sont toujours stables, c’est-à-dire que M(s) contient tous les pôlesinstables et N(s) tous les zéros instables du correcteur K(s). La stabilité des deux facteurs simplifiela réduction de façon considérable.Maintenant, au lieu d’approximer le correcteur K(s), les facteurs M(s) et N(s), issus d’unedécomposition en facteurs premiers de gauche, peuvent être approximés grâce à une réduction demodèle avec pondération fréquentielle. Afin de garantir la stabilité en boucle fermée, nous choisissonsla deuxième des pondérations[ ]précédemment mentionnées, appliqué à un système et un correcteuraugmentés ˜G(s) I=G(s) T et ˜K(s) = [ M(s) − I N(s) ] . Il vient :W i (s) = ˜G(s)(I +W o (s) = I˜K(s) ˜G(s))−1(J.3)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux