Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

150 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATIONsuivante :(Ei F i) ( v iw i)= g i (4.37)avec E i ∈ R m×n , F i ∈ R m×m , g i ∈ R m×1Il vient :( A − λi I n BE i F i) (viw i)=( 0g i)(4.38)( )A − λi IMaintenant, la matricen Bpeut être inversée, à condition qu’elle ne soit pasE i F isingulière. Les vecteurs v i et w i s’obtiennent alors comme suit :(viw i)=( A − λi I n BE i F i)−1 ( 0g i)(4.39)Dans la suite, nous utiliserons la deuxième manière afin de calculer les vecteurs v i et w i , avec lechoix suivant pour les matrices E i et F i et le vecteur g i :E i = O m×n , F i = I m et g i = O m×1 (4.40)Finalement, le correcteur peut être calculé de la façon suivante, cf. Éq. (4.32) :K = W V −1 (4.41)4.5.2 Commande modale linéaire fractionnaireIl existe différentes extensions ou généralisations de la commande modale, par exemple la commandemodale robuste [101] ou la commande modale linéaire fractionnaire [110]. Vu l’existence d’unmodèle linéaire fractionnaire pour la dynamique relative en orbite terrestre elliptique, nous nous servironsde la commande modale linéaire fractionnaire dans la suite.Cette technique est, en principe, identique à la commande modale standard précédemment décrite.La principale différence entre commande modale standard et commande modale linéaire fractionnaireest que le problème et les spécifications (valeurs propres et contraintes de découplage) sont sous formed’une représentation linéaire fractionnaire.Or, toutes les opérations matricielles nécessaires, comme l’addition, la multiplication, l’inversionou la concaténation, s’appliquent également à des représentations linéaires fractionnaires. La boîte àoutils linéaire fractionnaire permet d’effectuer ces opérations. Il est important à noter que le calculdu noyau d’une matrice est une opération qui peut également être effectuée sur des représentationslinéaires fractionnaires [109].Il n’est pas étonnant que cette méthode de synthèse fournisse un correcteur K sous forme linéairefractionnaire :K = K(∆) = K 22 + K 21 ∆ (I n∆ − K 11 ∆) −1 K 12 (4.42)Cette forme de correcteur a l’avantage, contrairement à des correcteurs interpolés par exemple,Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux