Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

328 C. NOTIONS DE BASE EN CINÉMATIQUE ET EN DYNAMIQUEIl est possible de combiner les Éqs. (C.56) et (C.62) en calculant (C.62)−−→ R P ∧(C.56) :••−→g = m−→ −→ c ∧ RP + m ( −→ ω ∧ −→) • •−→ −→c ∧ RP + mRP ∧ ( −→ ω ∧ −→) c•ω+ −→ (−→PJ ·−→ +−→ −→J−→P ω ∧ · −→) ω••= m −→ −→c ∧ RP + −→ • (−→PJ ·−→ω +−→ −→J−→P ω ∧ · −→) ω(C.63)Une expression encore plus simple peut être obtenue en calculant (C.63)− c −→ ∧(C.56) :(−→g −−→ −→ −→••c ∧ f = J−→P ·−→ω − m−→ c ∧ −→ ω ∧ −→) c(C.64)+ω −→ ( −→J−→P∧ · −→) ω − m −→ c ∧ [ −→ ω ∧ ( −→ ω ∧ −→)] c•ω= −→ (−→CJ ·−→ +−→ −→J−→C ω ∧ · −→) ωMaintenant, la dyade d’inertie est calculée par rapport au centre de masse C. Elle s’écrit grâce authéorème de Huygens 1 comme suit :−→ J = −→ [ (J−→C −→P− m−→ c ·−→ ) −→ c 1−→ − −→ c ⊗ −→] c (C.65)On peut reformuler l’Éq. (C.64) de la manière suivante :•−→ −→ −1ω = J−→ · C(−→g −−→ −→ ) c ∧ f − −→ −1−→J · C[ (−→ −→J−→Cω ∧ · −→)] ω(C.66)L’inverse −→ −1−→J de la dyade d’inertie −→ JC−→Cpeut toujours être calculée car la matrice d’inertie J Cobtenue par projection dans un repère arbitraire est toujours inversible.En reportant l’Éq. (C.66) dans l’Éq. (C.56), nous pouvons obtenir l’expression suivante :••−→RP = 1 m f−→ + −→ c ∧[ −→J−→ −1C ·−ω −→ ∧ ( ω −→ ∧ c −→) − c −→ ∧(−→g −−→ −→ )]c ∧ f{ −→J−→ −1· C[ (−→ −→J−→Cω ∧ · −→)]} ω(C.67)•Cette dernière manipulation a eu pour but de supprimer−→ω de l’ Éq. (C.56) afin de découpler lesdynamiques de rotation et de translation le plus possible.Ce sont les Éqs. (C.66) et (C.67) que nous retenons pour formuler la dynamique d’une formationde vaisseaux spatiaux.1. Christiaan Huygens (1629 – 1695), mathématicien, astronome et physicien néerlandaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux