Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

334 E. NON-EXISTENCE D’UNE REPRÉSENTATION LFT D’ORDRE UNplus général. Le seul changement qui est interdit est celui qui crée un pôle à ˜δ = 0, un cas qui n’a pasd’importance en pratique (cf. remarques ci-dessus sur le coefficient 1 obligatoire).Dans la suite, nous vérifierons sous quelles conditions le développement de Taylor d’ordre Nrespecte l’identité connue sin 2 x + cos 2 x = 1. Si les fonctions f sin (δ) et f cos (δ) représentent les fonctionstrigonométriques sin x et cos x, cette identité doit être respectée au N-ième ordre près pour undéveloppement de Taylor d’ordre N. Plus l’ordre du développement est élevé, plus les coefficients desdeux fonctions f sin (δ) et f cos (δ) seront contraints. Finalement, nous espérons trouver une contradictionlorsqu’une des deux fonctions est contrainte au premier ordre.– Condition d’ordre zéro (N = 0) :[ 0∑k=0⇐⇒ s 2 1 + c 2 1 = 12 [ 0∑ 2δ kk! f (k)sin 0)] (δ δ k+k! f cos (k) (δ 0 )]= 1k=0Nous choisissons s 1 = 0 et c 1 = 1 (parce que sin(0) = 0 et cos(0) = 1) et obtenons les fonctionssuivantes :– Condition d’ordre un (N = 1) :f sin (δ) = s 2δ + s 3 δ 21 + s 4 δ + s 5 δ 2 et f cos(δ) = 1 + c 2δ + c 3 δ 21 + c 4 δ + c 5 δ 2[ 1∑k=02 [ 1∑ 2δ kk! f (k)sin 0)] (δ δ k+k! f cos (k) (δ 0 )]= 1k=0⇐⇒ c 4 = c 2Ceci fournit les nouvelles fonctions :– Condition d’ordre deux (N = 2) :f sin (δ) = s 2δ + s 3 δ 21 + s 4 δ + s 5 δ 2 et f cos(δ) = 1 + c 2δ + c 3 δ 21 + c 2 δ + c 5 δ 2[ 2∑k=0⇐⇒ c 5 = c 3 + s2 22Ceci fournit les nouvelles fonctions :2 [ 2∑ 2δ kk! f (k)sin 0)] (δ δ k+k! f cos (k) (δ 0 )]= 1k=0f sin (δ) = s 2δ + s 3 δ 21 + s 4 δ + s 5 δ 2 et f cos(δ) =1 + c 2 δ + c 3 δ 21 + c 2 δ + (c 3 + s2 22)δ 2Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux