Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

I.1 Premier algorithme 351longueurs des demi-axes de l’hyper-ellipsoïde ε P soient toutes supérieures à 1 :L i =1√pk> 1, k ∈ 1, . . . , n(I.7)I.1 Premier algorithmeLe premier algorithme est basé sur une idée de Vesely [183]. Cependant, notre interprétation estgéométrique plutôt que mécanique, ce qui nous permet de démontrer la convergence de l’approcheitérative.Dans cet algorithme, nous obtenons le point ˆx le plus proche du point X grâce à une approcheitérative. x (k) est l’approximation du point ˆx dans l’itération k. Le point initial x (0) est l’intersectionentre l’hyper-ellipsoïde ε P et la droite passant par l’origine 0 et le point X :x (0) =X√XT P X(I.8)Une itération k de l’algorithme consiste en plusieurs étapes :1. nous supposons que le point x (k−1) soit donné ;2. d’abord, le gradient n (k−1) (qui définit l’hyper-plan tangent à l’hyper-ellipsoïde) de la fonctionx T P x au point x (k−1) est calculé :3. ensuite, le vecteur reliant les points X et x (k−1) est déterminé :n (k−1) = 2P x (k−1) (I.9)f (k−1) = X − x (k−1) (I.10)4. la projection f (k−1)n du vecteur f (k−1) sur le vecteur n (k−1) peut être obtenue comme suit :f (k−1)n =)(I n − n(k−1) n (k−1)Tf (k−1)n (k−1)T n (k−1)(I.11)5. le point ˜x (k) est le point sur l’hyper-plan tangent au point x (k−1) qui est le plus proche du pointX :˜x (k) = x (k−1) + f (k−1)n(I.12)6. enfin, le nouveau point x (k) est l’intersection entre l’hyper-ellipsoïde ε P et la ligne droite reliantle point X et le point ˜x (k) :(x (k) = X + f)˜x (k) − X} {{ }∆(I.13)Pour que x (k) se trouve sur l’hyper-ellipsoïde ε P , il faut que (X + f∆) T P (X + f∆) = 1. Parconséquent, f est la solution positive (celle qui donne l’intersection dans le premier orthant) deCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux