Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

5.5 Commutation entre correcteurs 237été utilisée à plusieurs reprises.La dernière inégalité de l’Éq. (5.85) est devenue non-linéaire à cause de la transformation. Or, nouspouvons trouver une représentation équivalente grâce au complément de Schur 2 3 . Les inégalités nonlinéairesQ > QC T vue,iC vue,i Q, i ∈ {1, ..., n vue } (5.86)peuvent être transformées en les inégalités linéaires suivantes (R = Q, S = 1 et M = QC T vue,i ) :[QC vue,i Q 1QC T vue,iNous sommes alors face au problème d’optimisation suivant :]> 0, i ∈ {1, ..., n vue } (5.87)minQ J ′′′ (Q) = − det Q (5.88)Q > 0Q(A − B 2 K c ) T + (A − B 2 K c )Q < 0[]Q QCvue,iT > 0, i ∈ {1, ..., n vue }C vue,i Q 1Ce problème peut maintenant être résolu (en temps polynômial) grâce aux outils standard deprogrammation convexe [23].Biannic [20] propose, selon une idée de [131], une transformation basée sur la décomposition deCholesky 4 qui rend la fonction objective linéaire et exploitable par des outils comme le solveur mincxde la LMI Control Toolbox [56]. D’un autre côté, il existe des solveurs capables de traiter le problèmed’optimisation de l’Éq. (5.83) directement. C’est la première approche que nous avons choisie, maisnous renonçons à la décrire en détail car elle ne sert qu’à résoudre un problème d’optimisation donné.Un point important est que l’algorithme d’optimisation peut être initialisé avec une valeur pour Q quisatisfait toutes les inégalités. Nous avons profité de cette possibilité afin de réduire le temps de calcul.Notamment, nous avons pris l’inverse d’une matrice de Lyapunov P quelconque dont les dimensionsont été réduites jusqu’à ce que l’hyper-ellipsoïde ε P associé soit inclus dans l’ensemble V.À partir de la solution Q du problème de minimisation, la matrice de Lyapunov P peut êtreobtenue par inversion, cf. Éq. (5.81).2. Issai Schur (1875 – 1941), mathématicien russe3. Le complément de Schur affirme qu’il existe une équivalence entre les trois relations suivantes :( )R M(i)M T > 0S{ R > 0(ii)S − M T R −1 M > 0{ S > 0(iii)R − MS −1 M T > 0Les dimensions des matrices M, R et S sont M ∈ R n×m , R ∈ R n×n et S ∈ R m×m . Les matrices R et S sontsymétriques.4. André-Louis Cholesky (1875 – 1918), mathématicien françaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux