Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

330 D. CALCUL DES GRADIENTS D’UN CHAMP DE GRAVITATIOND.1 Potentiel terrestre sphériqueNous utiliserons les règles de calcul afin de déterminer le gradient du potentiel de gravitationterrestre sphérique U ⊕,sph (R −→ ). En plus, nous nous en servirons pour obtenir la dérivée seconde deU ⊕,sph (R −→ ). Cette grandeur est d’une grande importance pour le vol en formation car elle nous permetde calculer de façon linéaire la force différentielle entre deux satellites volant en formation.Comme nous venons de dire, nous partons du potentiel de gravitation terrestre U ⊕,sph (R −→ ) :U ⊕,sph (R −→ 1) = µ ⊕(R −→ · −→ R) = µ ⊕(R −→ · −→ R) −1/2 (D.5)1/2−→ f ⊕,sph (R −→ ) est le gradient de U ⊕,sph (R −→ ) et peut être calculé comme suit :−→ f ⊕,sph (R −→ ) = −→ ∇ U⊕,sph (R−→ ) (D.6)= −µ ⊕12 (R−→ · R −→ ) −3/2−→ ∇ R−→·R−→(R −→ )= −µ ⊕12 (R−→ · R −→ ) −3/2 (2R −→ )= − µ ⊕R −→(R −→ · R −→ ) 3/2Nous avons déjà rencontré cette expression. Elle est bien connue dans la littérature et donnel’accélération subie par un corps dans le champ de gravitation U ⊕,sph (R −→ ). Nous avons utilisé la règlede dérivation en chaîne et l’Éq. (D.2).La dérivée seconde de U ⊕,sph (R −→ ) est à la fois la dyade hessienne ou simplement le hessien deU ⊕,sph (R −→ ) et la jacobienne de −→ f ⊕,sph (R −→ ). En posant−→ f ⊕,sph (R −→ ) = g(R −→ ) v −→ (R −→ )(D.7)avecµ ⊕g(R −→ ) = −(R −→ · −→ R) et v−→ (R −→ ) = −→ R,3/2nous pouvons écrire :−→ J−→ f −→(R−→ ) = g(R −→ ) −→ J −→ v−→(R −→ ) + v −→ (R −→ ) ⊗ −→ ∇ g (R −→ ) (D.8)= − µ ⊕−→ 1−→(R −→ · R −→ ) 3/2 + R−→ ⊗ 3µ ⊕R −→(R −→ · R −→ ) 5/2= µ ⊕−(R −→ · R −→ ) −→ 1 −→+ 3R −→ ⊗ R −→(R −→ · R −→ ) 5/2Ici, nous avons utilisé −→ J −→ v−→(R −→ ) = −→ 1 −→et −→ ∇ g (R −→ ) =3µ⊕ R−→(R −→·R −→ . ) 5/2Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux