Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

5.5 Commutation entre correcteurs 235Jusqu’ici, une multiplication de la matrice de Lyapunov P avec une nombre positif n’a aucuneffet. La satisfaction des inégalités dans l’Éq. (5.71) reste inchangée. Nous avons donc le droit denormaliser l’hyper-ellipsoïde comme suit :ε P = ε P,1 : {x|x T P x ≤ 1} (5.73)Notre objectif est maintenant de trouver un hyper-ellipsoïde de Lyapunov ε P qui tient à l’intérieurdes champs de vue de tous les capteurs utilisés, c’est-à-dire qui est inclus dans l’ensemble V :∀x, x T P x < 1 ⇒ x T C T vue,iC vue,i x < 1, i ∈ {1, ..., n vue } (5.74)ε P ⊆ VCette inclusion peut être réécrite grâce à la S-procédure, une astuce souvent utilisée pour desinégalités matricielles linéaires, cf. [20] :P > C T vue,iC vue,i , i ∈ {1, ..., n vue } (5.75)Cette transformation se passe sans conservatisme grâce à l’hypothèse que C vue,i ∈ R 1×n (vecteurligne). Dans le cas où C vue,i n’est pas un vecteur ligne, la S-procédure introduit du conservatisme.C’est pour cette raison que nous traitons toutes les composantes du vecteur de mesure d’un capteurséparément.Jusqu’à présent, les inégalités matricielles linéaires suivantes imposant des contraintes sur la matricede Lyapunov P ont été formulées :P > 0 (5.76)(A − B 2 K c ) T P + P (A − B 2 K c ) < 0P > C T vue,iC vue,i , i ∈ {1, ..., n vue }Ces contraintes linéaires définissent un ensemble convexe.Parmi les hyper-ellipsoïdes ε P inclus dans l’ensemble V, nous cherchons celui qui couvre le plusd’espace possible à l’intérieur des champs de vue. Le terme ≪ le plus d’espace possible ≫ admet plusieursinterprétations. Une possibilité est de maximiser le volume de l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov ε P . Levolume de l’hyper-ellipsoïde ε P est défini comme suit :Vol =ν n√det P(5.77)Ici, ν n est le volume d’une hyper-sphère unité de dimension n :ν n ={πkk!pour n = 2k, k ∈ Z2 n k!π kn!pour n = 2k + 1, k ∈ Z(5.78)En particulier, le volume d’une hyper-sphère unité de dimension n = 30 est ν 30 ≈ 2, 1915 · 10 −5 .En principe, ν nest une constante pour un n donné. Par conséquent, il suffit de maximiserCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux