Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

44 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTREordre :−→ f ⊕,sph ( −→ R L ) = −→ f ⊕,sph ( −→ R ref ) + −→ J −→⊕,sph( −→ R ref ) · ∆ −→ R L + O(‖∆ −→ R L ‖ 2 ) (2.40)−→ f ⊕,J2 ( −→ R L ) = −→ f ⊕,J2 ( −→ R ref ) + −→ J −→⊕,J2( −→ R ref ) · ∆ −→ R L + O(‖∆ −→ R L ‖ 2 ) (2.41)−→ f ⊕,sph ( −→ R ref ) et −→ f ⊕,J2 ( −→ R ref ) sont les accélérations du champ de gravitation terrestre sphérique etdu deuxième harmonique zonal qu’un satellite subirait au point −→ R ref .−→ J−→⊕,sph (−→ R ref ) et −→ J −→⊕,J2( −→ R ref ) sont les jacobiennes 8 des accélérations −→ f ⊕,sph ( −→ R ref ) et −→ f ⊕,J2 ( −→ R ref )ou bien les hessiens 9 , en d’autres termes les dérivées secondes, des potentiels U ⊕,sph ( −→ R ref ) etU ⊕,J2 ( −→ R ref ). Comme précédemment, les calculs sont détaillés dans l’Annexe D. Les jacobienness’écrivent comme suit :−→ J−→⊕,sph (−→ R ref ) = µ ⊕−( −→ R ref · −→ R ref ) −→ 1 −→+ 3 −→ R ref ⊗ −→ R ref( −→ R ref · −→ R ref ) 5/2 (2.42)−→ J−→⊕,J 2( −→ R ref ) =3µ ⊕ J 2 R⊕2 {2( −→ R ref · −→ ( −→ R ref · −→ [R ref ) 5( −→ R ref · −→ e K ) 2 − ( −→ R ref · −→ −→1−→R ref )](2.43)R ref )[9/2+5 ( −→ R ref · −→ R ref ) − 7( −→ R ref · −→ e K ) 2] −→Rref ⊗ −→ R ref+10( −→ R ref · −→ R ref )( −→ R ref · −→ [ −→Rrefe K ) ⊗ −→ e K + −→ e K ⊗ −→ ]R ref−2( −→ R ref · −→ R ref ) 2−→ e K ⊗ −→ }e KMaintenant, la dynamique du leader donnée par l’Éq. (2.34) peut être écrite comme suit :••−→RL =••••−→ −→Rref + ∆RL (2.44)= −→ f ⊕,sph ( −→ R ref ) + −→ J −→⊕,sph( −→ R ref ) · ∆ −→ R L+ −→ f ⊕,J2 ( −→ R ref ) + −→ J −→⊕,J2( −→ R ref ) · ∆ −→ R L + −→ u L + O(‖∆ −→ R L ‖ 2 ) (2.45)La définition du vecteur ∆ −→ R L est la suivante :∆ −→ R L = −→ R L − −→ R ref (2.46)De même, la dynamique du follower donnée par l’Éq. (2.35) devient :••−→RF =••••−→ −→Rref + ∆RF (2.47)= −→ f ⊕,sph ( −→ R ref ) + −→ J −→⊕,sph( −→ R ref ) · ∆ −→ R F+ −→ f ⊕,J2 ( −→ R ref ) + −→ J −→⊕,J2( −→ R ref ) · ∆ −→ R F + −→ u F + O(‖∆ −→ R F ‖ 2 )8. nommé après Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851), mathématicien allemand9. nommé après Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874), mathématicien allemandCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux