Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

320 C. NOTIONS DE BASE EN CINÉMATIQUE ET EN DYNAMIQUEGrâce à la vitesse angulaire −→ ω mi , il est possible d’écrire les dérivées des vecteurs unitairesdéfinissant le repère F m :•−→e m,1 = −→ ω mi ∧ −→ e m,1•−→e m,2 = −→ ω mi ∧ −→ e m,2•−→e m,3 = −→ ω mi ∧ −→ e m,3En utilisant des vectrices, la notation devient la suivante :ddt∣ Fm T = −→ ω mi ∧ FmT iddt∣ F m = −F m ∧ −→ ω mii(C.30)(C.31)L’expression des composantes du vecteur de vitesse angulaire −→ ω mi dans le repère F m donne :−→ ωmi = F T mω mi,m(C.32)Si nous reportons maintenant ces dernières relations dans la dérivée d’un vecteur, cf. Éq. (C.28),nous obtenons l’expression suivante :•−→v = FTm v˙m + F ˙ mv T m(C.33)= F T m ˙v m + ( −→ ω mi ∧ F T m)v m= F T m ˙v m + (ω T mi,mF m ∧ F T m)v m= F T m( ˙v m + ω × mi,m v m)Ici, ω × mi,m est la matrice antisymétrique associée à la matrice colonne ω mi,m. Elle est définie dansla Section B.2.L’expression (C.33) nous permet d’écrire les composantes de la dérivée d’un vecteur exprimée dansun repère mobile F m .Si nous reprenons maintenant l’Éq. (C.28) et l’écrivons complètement en notation vectorielle, ilvient :• ◦−→v =−→v +−→ ωmi ∧ −→ v(C.34)Un fait intéressant est que la dérivée de la vitesse angulaire −→ ω mi est invariante :•−→ω mi =◦−→ω mi + −→ ω mi ∧ −→ ◦ω mi =−→ω mi(C.35)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux