Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

I.2 Deuxième algorithme 353˜x (k) ) est encore plus proche de X que ˜x (k) :‖x (k) − X‖ 2 ≤ ‖˜x (k) − X‖ 2 ≤ ‖x (k−1) − X‖ 2(I.18)L’algorithme converge alors vers ˆx qui est le point le plus proche du point X sur l’hyper-ellipsoïde.En réalité, l’algorithme est répété jusqu’à ce que l’écart entre x (k) et x (k−1) soit suffisammentfaible :‖x (k) − x (k−1) ‖ 2 < ε(I.19)Nous avons constaté qu’il converge rapidement même dans le cas d’un hyper-ellipsoïde de dimensionélevée (n = 30). En outre, beaucoup de temps de calcul peut être économisé en utilisant le point finaldu dernier lancement comme point initial si le point X n’a pas beaucoup changé.S’il suffit de savoir si la distance entre les points ˆx et X est inférieure à 1 ou non, l’algorithme peutêtre interrompu dès que d (k) < 1. Le cas contraire n’est malheureusement pas possible parce que d (k)est toujours une sur-estimation de la distance entre les points ˆx et X. Dans le cas d (k) > 1, il fautdonc attendre la convergence de l’algorithme.I.2 Deuxième algorithmeL’idée principale du deuxième algorithme est que, au point ˆx de l’hyper-ellipsoïde qui est le plusproche du point X, le vecteur normal n à l’hyper-ellipsoïde est parallèle au vecteur ˆx − X. D’ailleurs,une optimisation basée sur la méthode de Lagrange mène au même résultat. Le vecteur normal aupoint ˆx est égal au gradient de la fonction x T P x évalué au point ˆx :n = ∇(x T P x) ∣ ∣ˆx= 2P ˆx (I.20)La relation suivante entre les vecteurs 2P ˆx et ˆx − X est donc vraie :2P ˆx = c(ˆx − X) ou (I.21)2p k ˆx k = c(ˆx k − X k ), k ∈ {1, . . . , n}avecc > 0, c ∈ RLe scalaire c est forcément positif car X se trouve à l’intérieur de l’hyper-ellipsoïde et le vecteurnormal est toujours dirigé vers l’extérieur de l’hyper-ellipsoïde.Nous pouvons réarranger l’Éq. (I.21) comme suit :ˆx = −( 2c P − I n) −1X ou (I.22)ˆx k =cc − 2p kX k , k ∈ {1, . . . , n}Visiblement, cette inversion n’est possible que pour c ≠ 2p k . Nous considérerons ce problème unpeu plus tard. Dans la suite, nous utiliserons uniquement la version scalaire de l’Éq. (I.22).Le calcul du point ˆx (ou de ses éléments ˆx k ) suppose que l’on connaisse le scalaire c. Or, nous neCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux