Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

234 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATION– une fois la surface de commutation est traversée, la trajectoire doit rester pour toujours (saufcas exceptionnels) à l’intérieur d’elle et, par conséquent, à l’intérieur des limites des champs devue ;– elle doit être facilement évaluable sur un ordinateur de bord.Un candidat idéal pour une surface de commutation remplissant les conditions ci-dessus et unefonction de Lyapunov quadratique V (x). Sa définition est la suivante :V (x) = x T P x (5.68)x ∈ R n est le vecteur d’état et P ∈ R n×n une matrice symétrique. La dérivée temporelle de V (x)peut être calculée grâce à la définition de la dynamique de retour d’état, cf. l’Éq. (5.61) :˙V (x) = ẋ T P x + x T P ẋ (5.69)= x T (A − B 2 K c ) T P x + x T P (A − B 2 K c )x= x T [ (A − B 2 K c ) T P + P (A − B 2 K c ) ] xTraditionnellement, une fonction de Lyapunov est utilisée pour analyser la stabilité d’un système.Dans le cas d’un système linéaire, cf. l’Éq. (5.61), la dynamique est stable au sens de Lyapunov si etseulement si la fonction de Lyapunov V (x) est positive et sa dérivée temporelle ˙V (x) est négative :V (x) = x T P x > 0 (5.70)˙V (x) = x T [ (A − B 2 K c ) T P + P (A − B 2 K c ) ] x < 0Ces deux conditions peuvent être traduites (P > 0 ⇔ x T P x > 0 ∀x ≠ 0) dans les inégalités matricielleslinéaires (LMI, angl. linear matrix inequalities) suivantes :P = P T > 0 (5.71)(A − B 2 K c ) T P + P (A − B 2 K c ) < 0P = P T > 0 signifie que P doit être une matrice symétrique et définie positive, c’est-à-dire qu’elledoit posséder uniquement des valeurs propres réelles et strictement positives.La dérivée temporelle négative ˙V (x) fait décroître la valeur de V (x). Géométriquement, l’Éq. (5.68)décrit l’hyper-ellipsoïde ε P,V (x) sur le bord duquel se trouve l’état courant x :ε P,V (x) : {x|x T P x ≤ V (x)} (5.72)Un fait important est qu’une valeur V (x 2 ) qui est inférieure à une valeur V (x 1 ) (V (x 2 ) < V (x 1 ))signifie que l’hyper-ellipsoïde ε P,V2(x) associé à la valeur V 2 (x) se trouve entièrement à l’intérieurde l’hyper-ellipsoïde ε P,V1(x) associé à la valeur V 1 (x), ou ε P,V2(x) ⊂ ε P,V1(x). Cependant, les deuxhyper-ellipsoïdes possèdent les mêmes proportions et la même orientation.Par conséquent, une valeur V (x) décroissante conduit à un hyper-ellipsoïde ε P,V (x) qui devient deplus en plus petit, tout en conservant ses proportions initiales.Nous n’utilisons pas la fonction de Lyapunov pour une analyse de stabilité proprement dite,mais nous exploitons son interprétation graphique. En effet, le fait que l’hyper-ellipsoïde initial ≪ sedégonfle ≫ permet de conclure que l’état x, qui se trouve sur le bord de l’hyper-ellipsoïde de Lyapunovε P,V (x) , restera pour toujours à l’intérieur de cet hyper-ellipsoïde.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux