Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

24 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTRELa solution analytique peut être obtenue grâce au calcul vectoriel. On peut notamment profiterde la constance du vecteur de moment cinétique −→ h = −→ •−→R ∧ R . Cette constance est due au champ degravitation qui est central, sphérique et inversement quadratique.Il n’existe pas d’expression explicite pour l’évolution de l’anomalie vraie. Elle peut être écrite soità l’aide des anomalies moyenne M et excentrique E sous forme d’une équation implicite, soit sousforme d’une équation différentielle, cf. [185] :˙ν =n(1 + e cos ν)2(1 − e 2 ) 3/2 (2.6)Ici, n est la vitesse angulaire moyenne le long de l’orbite. Elle est donnée par l’équation suivante :n =√µ⊕a 3 (2.7)La période orbitale T peut être calculée à partir de la vitesse angulaire moyenne n comme suit :T = 2π n = 2π √a 3µ ⊕(2.8)À partir de l’Éq. (2.6), nous pouvons, par différentiation, calculer la dérivée seconde de l’anomalievraie ν que nous utiliserons dans la suite :¨ν = − 2n2 e sin ν(1 + e cos ν) 3(1 − e 2 ) 3 (2.9)Toutes ces informations nous permettent de décrire le mouvement d’un satellite dans le plan quicontient l’ellipse, appelé le plan orbital.Dans la suite, nous décrirons l’orientation de ce plan orbital par rapport au repère géocentriqueéquatorial (angl. ECI = earth-centered inertial ou geocentric-equatorial) que nous appelons F IJK .Comme le montre la Fig. 2.2, les vecteurs élémentaires −→ e I et −→ e J se trouvent dans le plan équatorialde la Terre, tandis que le vecteur −→ e K coïncide avec l’axe de rotation la Terre. Il est important de noterque les vecteurs −→ e I et −→ e J ne sont pas fixes par rapport à la Terre, mais fixes dans un repère inertiel.En effet, le vecteur −→ e I indique la direction du point vernal.L’orientation du plan orbital peut être décrite grâce à trois rotations successives à partir du repèregéocentrique F IJK . La première rotation est une rotation autour du vecteur −→ e K (qui indique ladirection du pôle nord) avec l’angle Ω appelé l’ascension droite du nœud ascendant. La Fig. 2.3montre cette rotation.Le repère intermédiaire s’appelle F I′ J ′ K ′. Son vecteur −→ e K ′ est identique au vecteur −→ e K . Les vecteursunitaires −→ e I ′, −→ e J ′ et −→ e K ′ définissant le repère F I′ J ′ K ′ peuvent être calculés à partir des vecteurs−→ eI , −→ e J et −→ e K grâce à la relation suivante :⎛⎝−→ eI ′−→ eJ ′−→ eK ′⎞⎛⎠ = C}{{} III (Ω) ⎝=C IJKI ′ J ′ K ′−→ eI−→ eJ−→ eK⎞⎠ (2.10)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux