Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

C.1 Cinématique 317Cette matrice est parfois appelée matrice des cosinus directeurs car le produit −→ e B,1 · −→ e A,1 estégale au cosinus de l’angle entre les vecteurs −→ e B,1 et −→ e A,1 . Elle est orthonormale, c’est-à-dire quechacune de ses colonnes a un module unitaire et que ses colonnes sont mutuellement orthogonales.Son déterminant est det C BA = +1, d’où C −1BA = CT BA et C BAC T BA = CT BA C BA = I 3 .Nous citons maintenant quelques identités utiles concernant les matrices de rotation. D’abord, lamatrice C AB décrivant le passage inverse peut être obtenue à partir de la matrice C BA par une simpletransposition :C AB = C T BA(C.13)La matrice décrivant la rotation entre un repère F A et lui même est la matrice d’identité I 3(cf. Annexe B) :C AA = I 3(C.14)La séquence de rotations entre les repères F A et F C , en passant par le repère F B , peut être écritecomme suit :C CA = C CB C BA(C.15)Les dyades peuvent, de façon similaire aux vecteurs, être projetées dans un repère particulier. Lescomposantes d’une dyade −→ D −→, projetée dans le repère F A , peuvent être écrites sous forme d’une matricecarrée D A :D A = F A−→ D−→ F T A(C.16)C.1.2ProduitsDans la suite, nous expliciterons encore quelques opérations utilisées dans ce mémoire.Produit scalaireD’abord, le produit scalaire (ou produit intérieur) associe un scalaire à deux vecteurs. Ce scalaireest le produit des modules des vecteurs et du cosinus de l’angle entre les deux vecteurs :s 3 = −→ v 1 · −→ v 2 = ‖v 1 ‖‖v 2 ‖ cos ∠( −→ v 1 , −→ v 2 )(C.17)En exprimant le vecteur −→ v 1 dans le repère F 1 et le vecteur −→ v 2 dans le repère F 2 , on obtientl’expression suivante pour le scalaire s 3 :s 3 = (v T 1 F 1 ) · (v T 2 F 2 ) = (v T 1 F 1 ) · (F T 2 v 2 ) = v T 1 (F 1 · F T 2 )v 2 = v T 1 C 12 v 2(C.18)Le scalaire s 3 est indépendant du choix du repère.Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est 0. Le produit scalaire d’un vecteur avec luimême égale son module élevé au carré.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux