Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

Annexe FTransformée de Fourier discrèteLa transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil puissant du traitement numérique dusignal qui sert à analyser le contenu fréquentiel d’un signal discret (analyse spectrale).La transformée de Fourier discrète est particulièrement adaptée lorsqu’il s’agit d’effectuer uneanalyse spectrale sur un signal périodique.Nous partons d’une séquence de N nombres complexes x 0 , . . . , x N−1 ∈ C.Cette séquence est transformée en une séquence de N nombres complexes X 0 , . . . , X N−1 ∈ C àl’aide de la transformée de Fourier discrète :X k =N−1∑n=0x n e − 2πiN kn , k = 0, . . . , N − 1 (F.1)À partir de la séquence fréquentielle X 0 , . . . , § N−1 , la séquence temporelle x 0 , . . . , x N−1 peut êtreobtenue grâce à la transformée de Fourier discrète inverse :x n = 1 NN−1∑Pour un signal réel x 0 , . . . , x N−1 ∈ R, la relation suivante est vraie :k=0X k e 2πiN kn , n = 0, . . . , N − 1 (F.2)X k = X N−k , k = 0, . . . , N − 1 (F.3)Ici, le nombre complexe X N−k est le conjugué du nombre complexe X N−k .En d’autres termes, la transformée de Fourier discrète est redondante pour un signal réel. Parconséquent, il suffit de stocker la séquence X 0 , . . . , X N/2 . Par ailleurs, X 0 est un nombre réel, X N/2 estréel si N est un nombre pair. La séquence X 1 , . . . , X N/2−1 est généralement complexe.Cette remarque nous permet d’écrire la transformée de Fourier discrète inverse de la manière337