Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

236 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATION1/ √ det P :max J(P ) = 1√ (5.79)P det PCependant, la fonction objective J(P ) est difficile à intégrer dans le cadre matriciel linéaire. Unefaçon alternative de formuler le problème de maximisation du volume est :minP J ′ (P ) = log det P (5.80)Ce problème est équivalent au premier problème d’origine parce que − log x et x −1/2 sont desfonctions décroissantes pour x > 0 et parce que det P > 0. Malheureusement, la fonction objectiveJ ′ (P ) n’est pas convexe. Un tel problème d’optimisation est dur à résoudre car il comporte des minimalocaux, voire ne possède pas de minimum du tout.Il existe une manière de transformer ce problème en un problème équivalent, basé sur une fonctionobjective convexe et des contraintes convexes.À cette fin, nous définissons l’inverse de la matrice de Lyapunov :Q = P −1 > 0 (5.81)Le déterminant de P est l’inverse du déterminant de Q :det P = det ( Q −1) = 1det Q(5.82)Un problème d’optimisation équivalent au problème donné par l’Éq. (5.80) peut alors être écrit :( ) 1min J ′′ (Q) = log = − log det Q (5.83)Qdet QComme log(x) est une fonction croissante et comme le déterminant de Q est positif (Q > 0), ceproblème d’optimisation est équivalent à :minQ J ′′′ (Q) = − det Q (5.84)Les problèmes d’optimisation dans les Éqs. (5.83) et (5.84) sont convexes, cf. [23]. Nous retiendronsla deuxième version (min Q J ′′′ (Q) = − det Q) dans la suite. Maintenant, nous remplacerons toutes lesoccurrences de la matrice de Lyapunov P par la matrice Q dans les contraintes d’inégalité.Les inégalités matricielles s’écrivent comme suit en fonction de la nouvelle variable Q :Q > 0 (5.85)Q(A − B 2 K c ) T + (A − B 2 K c )Q < 0Q > QC T vue,iC vue,i Q, i ∈ {1, ..., n vue }Les inégalités ont simplement été pré-multipliées par la matrice définie positive Q et postmultipliéespar Q T = Q, ce qui représente une transformation congruente. L’égalité P Q = I n aCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux