Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

352 I. DISTANCE ENTRE UN HYPER-ELLIPSOÏDE ET UN POINTl’équation quadratique suivante :(∆ T P ∆)f 2 + (2∆ T P X)f + (X T P X − 1) = 0 (I.14)Il vient :f = −∆T P X + √ (∆ T P X) 2 − (∆ T P ∆)(X T P X − 1)∆ T P ∆(I.15)Il est possible de montrer que le terme sous la racine est toujours positif (X T P X < 1 et∆ T P ∆ > 0).7. la distance entre les points x (k) et X est la suivante :d (k) = ‖x (k) − X‖ 2 (I.16)8. k est augmenté de 1 et la prochaine itération peut commencer (point 1).La Fig. I.2 illustre quelques itérations de cet algorithme itératif, en particulier l’initialisation etla première itération.Figure I.2 – Quelques itérations du premier algorithmeLa convergence de l’algorithme devient aussitôt évidente. En effet, sur le plan tangent à l’ellipsoïde,n (k−1)T (x − x (k−1) ) = 0, il existe toujours un seul point qui est le point le plus proche du point X :˜x (k) . Par conséquent, il vient :‖˜x (k) − X‖ 2 ≤ ‖x (k−1) − X‖ 2(I.17)Vu la convexité de l’ellipsoïde, le plan tangent se trouve toujours entièrement à l’extérieur de celuici.Ceci signifie que la projection x (k) de ˜x (k) sur l’ellipsoïde (le long de la ligne droite reliant X etCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux