Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

I.2 Deuxième algorithme 355Maintenant, nous pouvons trouver une borne supérieure pour l’expression ∑ ( ) 2n 2pkk=1 c−2p kX2k:n∑( ) 2 ( ) 2 ( ) 22pk2Xk 2 maxk p k≤ nmax X kc − 2p k c − 2 max k p k kk=1(I.28)Une condition nécessaire est donc que( ) 2 ( ) 2 2 maxk p knmax X k ≥ 1.c − 2 max k p k k(I.29)Il vient :c ≤ ¯c = 2 maxkp k(1 + √ )n max X kk(I.30)Il est même possible de trouver une meilleure borne inférieure en considérant que chaque élémentde la somme de l’Éq. (I.24) doit être inférieur ou égal à un (tous les éléments sont positifs) :( ) 2cp k Xk 2 ≤ 1, k ∈ {1, . . . , n} (I.31)c − 2p kPar conséquent, nous obtenons une nouvelle borne inférieure pour c :c ≥ c = maxk2p k1 − X k√pk(I.32)Par ailleurs, l’expression X k√pk est inférieure à 1 du fait que X T P X < 1.Nous avons donc restreint le problème de recherche de c à l’intervalle [c, ¯c] dans lequel f(c) eststrictement décroissante. Une dichotomie fournit la valeur de c. Pour cela, les méthodes de regula falsiet de Newton sont des alternatives pensables. Avec la dichotomie et à l’aide de l’Éq. (I.22), nouspouvons enfin calculer le point ˆx ou bien la distance d(ˆx, X) avec l’Éq. (I.27).Vu que le calcul de la distance d(ˆx, X) n’est pas nécessaire (il suffit de savoir si d(ˆx, X) > 1 oud(ˆx, X) < 1), la dichotomie peut être interrompue dès que g(c), g(¯c) > 1 ou g(c), g(¯c) < 1 pour les deuxlimites c et ¯c de l’intervalle courant. Dans le cas g(c), g(¯c) > 1, la distance d(ˆx, X) est certainementsupérieure à 1. Dans le cas contraire, elle est inférieure à 1. Cette décision est justifiée grâce à lamonotonie de la fonction g(c) sur [2 max k p k , +∞[.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux