Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

5.5 Commutation entre correcteurs 249Par conséquent, si le point Ξ appartient à l’ensemble décrit par l’Éq. (5.106), l’hyper-cube delongueur 1 dont un sommet est au point Ξ, ainsi que l’hyper-sphère de rayon 1 centrée au point Ξ,tiennent dans l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov.Ceci nous donne un critère suffisant très simple. En effet, si⎡ ⎛−1⎞⎤T⎡ ⎛−1⎞⎤⎢ ⎜⎣|Ξ| − ⎝ .⎟⎥⎠⎦⎢ ⎜P ⎣|Ξ| − ⎝ .⎟⎥⎠⎦≤ 1, (5.107)}−1{{ } }−1{{ }˜Ξ˜Ξalors la distance entre le point Ξ et le point le plus proche de l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov ξ T Pξ = 1est supérieure à 1. Dans le cas contraire, aucun constat ne peut être fait.La Fig. 5.36 souligne également le conservatisme introduit en utilisant l’hyper-ellipsoïde de Lyapunovdécalé. L’espace entre la ligne bleue pointillée (hyper-ellipsoïde de Lyapunov décalé) et laligne rouge continue (surface parallèle) n’est pas couvert par ce critère. Selon les proportions del’hyper-ellipsoïde de Lyapunov et de l’hyper-ellipsoïde de covariance, ceci peut avoir des effets plusou moins prononcés. De manière générale, plus grand le rapport entre les tailles de l’hyper-ellipsoïdede Lyapunov et l’hyper-ellipsoïde de covariance est important, moins de conservatisme est introduit.La stratégie suivante peut alors être formulée :Stratégie 2b : La commutation vers le mode suivant a lieu dès que la fonction ˜Ξ T P ˜Ξ est inférieureà 1. Ceci implique que la probabilité que le vrai état x se trouve à l’intérieur de l’hyper-ellipsoïde deLyapunov et que tous les capteurs concernés fournissent une mesure est supérieure à la probabilitép choisie. Comme nous ne disposons pas du vrai état x, nous utilisons l’état du correcteur x K .Les détails de cette stratégie peuvent être décrits comme suit. X est l’état courant du correcteurx K (X = x K ), c’est-à-dire l’estimée de l’état du système x. P est la matrice de Lyapunov obtenuedans l’optimisation LMI. ˜Ξ est le vecteur X transformé, puis projeté dans le premier orthant (modulede toutes les composantes) et décalé de +1 selon tous les axes :⎛ ⎞1˜Ξ =⎜|Ξ| + ⎝ .1⎟⎠ (5.108)⎛ ⎞1= ∣ ∣M3 T M2 T M1 T X ∣ ⎜+ ⎝.1Enfin, P est l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov transformé :⎟⎠P = M T 3 M T 2 M T 1 P M 1 M 2 M 3 (5.109)Il est important à noter que la matrice de transformation M3 T M2 T M1T peut être calculée au sol siles matrices de Lyapunov P et de covariance R sont connues. Les calculs restants sont seulement desmultiplications et des additions et donc très simples à effectuer sur un ordinateur de bord.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux