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156 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATION0.20.150.10.05K ij(normé)0−0.05−0.1−0.15−0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2ν/πFigure 4.15 – Variations des gains du correcteur en fonction de l’anomalie vraie. Les gains du correcteurpour la dynamique dans le plan orbital (axes r et c) sont tracés en bleu tandis que les gainspour la dynamique hors plan (axe o) sont tracés en vert.0.20.150.10.05K ij(normé)0−0.05−0.1−0.15−0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t/TFigure 4.16 – Variations des gains du correcteur en fonction du temps. Les gains du correcteur pour ladynamique dans le plan orbital (axes r et c) sont tracés en bleu tandis que les gains pour la dynamiquehors plan (axe o) sont tracés en vert.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
4.5 Contrôle modal auto-séquencé 157à paramètre variant. En d’autres termes, l’inversion ne peut pas être effectuée au sol, mais doit êtrecalculée par l’ordinateur de bord en temps réel. Dans cette section, nous décrirons le problème del’existence et de l’unicité de la solution (angl. well-posedness) plus en détail afin de proposer unesolution ensuite.Inversion directeUne possibilité pour évaluer l’Éq. (4.48) est d’effectuer une inversion directe en utilisantl’élimination de Gauss-Jordan 9 , par exemple. Il se pose alors la question : sous quelles conditionsla matrice I n∆ − K 11 ∆ est-elle inversible ? Magni [110] donne la condition nécessaire et suffisantesuivante :µ(K 11 ) < 1 (4.49)En d’autres termes, la valeur singulière structurée (SSV, angl. structured singular value) de lamatrice K 11 doit être inférieure à 1. Le fait d’utiliser la valeur singulière structurée peut être expliquépar la structure particulière de la matrice ∆. Plus d’informations sur la valeur singulière structuréepeuvent être trouvées dans l’ouvrage [3].Le rayon de l’existence et de l’unicité de la solution (angl. well-posedness radius) est l’inverse dela valeur singulière structurée :r WP =1µ(K 11 )(4.50)Si r WP est supérieur à 1, alors la matrice I n∆ − K 11 ∆ n’est jamais singulière, pourvu que la normeinfinie de la matrice ∆ soit inférieure à 1 (‖∆‖ ∞ < 1).Le Tab. 4.7 montre les rayons de l’existence et de l’unicité de la solution pour des correcteurs Kdifférents.Représentationchoisie pour sin νet cos νTable 4.7 – Rayons de l’existence et de l’unicité de la solutionRayon du correcteurà trois axes(r-c-o)Rayon du correcteurà deux axes(r-c)Rayon du correcteurmono-axe (o)δ 1 = sin ν 0, 5996 148, 0372 4798, 7δ 2 = cos νδ = tan ν 20, 2016 0, 2022 ∞δ = tan ν 4− # 0, 0875 ∞# La boîte à outil a refusé de calculer le rayon de well-posedness car n ∆>500.Comme on peut le constater dans le Tab. 4.7, le calcul de la valeur singulière structurée µ et parconséquent du rayon de l’existence et de l’unicité de la solution est lourd et souvent conservatif. Eneffet, il n’est pas possible avec les outils numériques disponibles de calculer le rayon de l’existence etde l’unicité du correcteur à trois axes dans le cas d’une paramétrisation avec tan ν 4 .En revanche, dans le cas d’une paramétrisation avec sin ν et cos ν et de correcteurs distincts pourles dynamiques dans le plan orbital et hors-plan, nous avons la garantie que les correcteurs sont bienposés car les rayons de l’existence et de l’unicité de la solution sont largement supérieurs à 1. À cause9. Wilhelm Jordan (1842 – 1899), mathématicien et géomètre allemandCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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