Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

72 3. MODÈLE COUPLÉ EN TRANSLATION ET EN ROTATION◦ ◦ ◦◦ ◦◦Finalement, nous laissons uniquement les variables ∆−→ω c , ∆−→ω i , ∆−→r c et ∆−→r i dans le membre degauche des équations pour montrer qu’il s’agit d’une dynamique impliquant les variables commençantpar ∆ :◦◦ ◦◦∆−→r c + ∆−→r i − ( −→ ri + ∆ −→ ) ◦r i ∧ ∆−→ω c = 1 −→ fm i + −→ [ −→J−→ −1(c i ∧ · −→gi− −→ cii,P i ∧ −→ ) ]f i (3.18)i◦◦ ◦◦−−→r 0 −−→r c − 2 −→ ( ◦ω 0 ∧−→ )◦ ◦ ◦r 0 +−→r c + ∆−→r c −−→ω 0 ∧ ( −→ r0 + −→ r c + ∆ −→ )r c− −→ ω 0 ∧ [ −→ ω0 ∧ ( −→ r0 + −→ r c + ∆ −→ )] ◦◦r c −−→r i − 2 ( −→ ω0 + −→ ω c + ∆ −→ () ◦ω c ∧ −→ )◦r i + ∆−→r i( ◦− −→ ◦ω 0 +−→ω c + −→ ω 0 ∧ −→ ω c + ( −→ ω 0 + −→ ω c ) ∧ ∆ −→ )ω c ∧ ( −→ ri + ∆ −→ )r i− ( −→ ω0 + −→ ω c + ∆ −→ ) [(ω c ∧ −→ω0+ −→ ω c + ∆ −→ ) (ω c ∧ −→ri+ ∆ −→ )]r i− ( −→ ω0 + −→ ω c + ∆ −→ ω c + −→ ω i + ∆ −→ ) [(ω i ∧ −→ω0+ −→ ω c + ∆ −→ ω c + −→ ω i + ∆ −→ )ω i ∧−→ ]ci− −→ [ −→J−→ −1c i ∧ · {( −→ ω0 + −→ ωi,P c + ∆ −→ ω c + −→ ω i + ∆ −→ )ω i ∧i[ −→J−→i,Pi· (−→ω0 + −→ ω c + ∆ −→ ω c + −→ ω i + ∆ −→ ) ]}]ω i◦ ◦∆−→ω c + ∆−→ω i = −→ −1−→J ·i,P i( −→gi− −→ c i ∧ −→ f i)◦ ◦−−→ω 0 −−→ω c − −→ ω 0 ∧ −→ ω c − ( −→ ω 0 + −→ ω c ) ∧ ∆ −→ ◦ω c −−→ω i(3.19)−( −→ ω 0 + −→ ω c + ∆ −→ ω c ) ∧ −→ ω i − ( −→ ω 0 + −→ ω c + ∆ −→ ω c + −→ ω i ) ∧ ∆ −→ ω i− −→ −1−→J · {( −→ ω0 + −→ ωi,P c + ∆ −→ ω c + −→ ω i + ∆ −→ )ω i ∧[i−→J−→i,Pi· (−→ω0 + −→ ω c + ∆ −→ ω c + −→ ω i + ∆ −→ ) ]}ω iIl est bien visible dans l’Éq. (3.18) qu’il existe un couplage entre translation et rotation. D’un◦côté, la vitesse angulaire ∆−→ω c apparaît dans le membre de gauche. De l’autre côté, toutes les vitessesangulaires apparaissent dans le membre de droite de l’équation. Ceci est dû aux accélérations inertiellestelles que l’accélération de Coriolis 3 . Il n’est pas possible de disposer d’équations dynamiques avecun découplage total entre rotation et translation.3.5 Modèle dynamique en notation extrinsèqueComme le but est de trouver des expressions adaptées au traitement numérique, par exemple poursynthétiser des correcteurs, il faut passer en notation extrinsèque, c’est-à-dire projeter les vecteurs etdyades dans des repères concrets pour obtenir des expressions matricielles.3. Gaspard-Gustave Coriolis (1792 – 1843), mathématicien et ingénieur françaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux