Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

84 3. MODÈLE COUPLÉ EN TRANSLATION ET EN ROTATIONoutre, elle représente une séquence de Cardan 5 de rotations élémentaires, cf. Annexe C. Grâce àcette approximation, les matrices de passage ∆C c et ∆C i deviennent maniables.Si nous tenons compte du fait que les vitesses et accélérations angulaires, ∆ω c et ∆ ˙ω c , sont simplementles dérivées première et seconde des angles ∆θ c dans le cas des petits angles, nous pouvonsles écrire de la manière suivante :∆ω c = ∆ ˙θ c (3.46)∆ ˙ω c = ∆¨θ cLa même opération peut être faite pour les vitesses et accélérations angulaires ∆ω i et ∆ ˙ω i :∆ω i = ∆ ˙θ i (3.47)∆ ˙ω i = ∆¨θ iAprès les remplacements des termes ∆C c , ∆C i , ∆ω c , ∆ω i , ∆ ˙ω c et ∆ ˙ω i dans les Éqs. (3.41) et (3.42),tous les produits mutuels des variables commençant par ∆ sont supprimés. Cette opération complètela linéarisation.En effet, nous supposons ici des petits angles, des petites vitesses et accélérations angulaires, ainsique des petits déplacements ∆r i , vitesses ∆ṙ i et accélérations ∆¨r i . En d’autres termes, ∆r i , ∆ṙ i et∆¨r i doivent rester faibles devant les valeurs nominales r i , ṙ i et ¨r i , respectivement.Quant à ∆r c , ∆ṙ c et ∆¨r c , le cas est légèrement différent. Comme ces trois variables apparaissenttoujours seules, c’est-à-dire sans être multipliés par une autre variable commençant par ∆, nous n’avonspas besoin de supposer que leurs valeurs sont faibles.Les forces et les couples nominaux (nécessaires pour maintenir la formation nominale dans le cassans perturbations orbitales) étant nuls, nous pouvons supposer que les forces f i et les couples g i sontpetits. Par conséquent, nous pouvons les traiter comme les variables commençant par ∆ dans la suiteet écrire ∆f i et ∆g i .La suppression de tous les termes quadratiques ou d’ordre supérieur à deux donne l’expressionsuivante de la dynamique en notation matricielle :Ct T C 0 ∆¨r c + ∆¨r i − r × i ∆¨θ c = 1 C i ∆f i + C i c × im J −1 (i,P ∆gi i− c × i ∆f )ii−2Ct T ω 0 × C 0∆ṙ c − CtT [˙ω×0 + ω 0×2 ]C0 ∆r c(3.48)∆¨θ c + C i ∆¨θ i = C i J −1 (i,P ∆gi i− c × i ∆f )i(3.49)Nous notons que seules les dérivées secondes des angles ∆¨θ c et ∆¨θ i apparaissent, les angles ∆θ c et∆θ i et les vitesses angulaires ∆ ˙θ c et ∆ ˙θ i ont disparu. La dynamique d’attitude (plus précisément ladynamique de ∆θ c + C i ∆θ i ) est celle d’un double intégrateur.5. Gerolamo Cardano (1501 – 1576), médecin et mathématicien italienCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux