Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.4 Modèle linéaire fractionnaire 137La combinaison des trois expressions précédentes fournit :]y =[M 21 ∆ (I n∆ − M 11 ∆) −1 M 12 + M 22 u (4.9)Dans le cas ∆ = 0, il ne reste que la partie nominale y = M 22 u.La matrice des paramètres est généralement composée de plusieurs blocs diagonaux représentantplusieurs paramètres différents :∆ =⎛⎜⎝⎞δ 1 I nδ1 0. ..⎟⎠ (4.10)0 δ N I nδNNous appelons N le nombre de blocs. Comme nous l’avons déjà dit, les paramètres δ i peuvent êtredes paramètres constants ou variants. Ils peuvent également être des intégrateurs 1/s. Ainsi, il estpossible de modéliser un système sous forme d’état comme l’Éq. (4.4) en utilisant la représentationlinéaire fractionnaire.Une représentation linéaire fractionnaire fournit l’ensemble des modèles possibles lorsque l’onignore la valeur exacte de paramètres δ i .En dehors de la représentation linéaire fractionnaire, il existe d’autres méthodes de modélisationpour des systèmes qui dépendent de paramètres, par exemple la modélisation sous forme de polytope.Or, le cadre linéaire fractionnaire permet d’extraire les paramètres du modèle, qui correspondentsouvent à des paramètres physiques.Comme son nom l’indique, il est possible de modéliser des fonctions rationnelles en utilisant lareprésentation linéaire fractionnaire. Cependant, il faut veiller à ce que le dénominateur d’une tellefonction rationnelle ne disparaisse pas dans le cas où ∆ est nul. En d’autres termes, la partie nominaleM 22 du modèle doit être finie.Quant à d’autres fonctions, par exemple les fonctions trigonométriques sin ν et cos ν qui apparaissentplusieurs fois dans les différents modèles pour la dynamique relative en orbite terrestre elliptique,il existe parfois des astuces qui permettent de les modéliser sous forme de représentation linéairefractionnaire également. Le cas précis des fonction trigonométriques sera détaillé sous peu.Souvent, on préfère normaliser les paramètres δ i à l’intervalle [−1, 1] car certaines méthodes ayantrecours à la représentation linéaire fractionnaire le requièrent. Ceci ne pose pas de problème particulierparce qu’il existe toujours la possibilité de normaliser la plage de variation d’un paramètre.Les applications de la représentation linéaire fractionnaire en automatique sont légion. Un domaineapplicatif très important est l’analyse de robustesse en stabilité ou en performance lorsque l’onest confronté à des paramètres mal connus ou variants. Ce type d’analyse peut être effectué grâce àdes méthodes modernes comme la µ-analyse [55, 44] ou les contraintes quadratiques intégrales (IQC,angl. integral quadratic constraints) [78, 21]. Une application voisine est la synthèse de correcteursrobustes vis-à-vis de paramètres incertains en utilisant la µ-synthèse[29]. Les thèses de Manceaux-Cumer [116] et Döll [46] présentent un grand nombre de techniques concernant l’analyse de robustesseet la synthèse robuste. Enfin, il existe de multiples méthodes de synthèse qui utilisent unmodèle linéaire fractionnaire et qui fournissent un correcteur sous forme linéaire fractionnaire qui estséquencé en fonction des paramètres δ i . À titre de références, nous citons la commande modale [110],la commande multimodèle [101], la commande H ∞ [134] et la commande mixte H 2 /H ∞ [137].Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux