Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

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324 C. NOTIONS DE BASE EN CINÉMATIQUE ET EN DYNAMIQUESi la masse m est constante (ṁ = 0), la combinaison des Éqs. (C.43) et (C.44) donne :−→• ••f =−→p = m−→r(C.45)Ici,••−→r est l’accélération de la masse ponctuelle.La loi d’Euler affirme que la variation du moment cinétique −→ h O d’une masse ponctuelle parrapport au point fixe O est égale au couple −→ g O exercé sur la masse et calculé par rapport au point Oégalement :•−→hO = −→ g O(C.46)Le moment cinétique −→ h O par rapport au point O est défini comme suit :−→hO = r −→ ∧ p −→(C.47)Le couple −→ g O autour du point O est le suivant :−→ gO = r −→ ∧ f −→(C.48)La combinaison des Éqs. (C.46), (C.47) et (C.48) donne :−→ −→r ∧ f =−→ gO =•−→h O••=−→r ∧−→ p +−→ r ∧−→p• •••= m−→r ∧−→r + m−→ r ∧−→r••r= m −→ r ∧−→(C.49)Il est important de noter que l’Éq. (C.49) correspond au produit vectoriel entre r−→ et l’Éq. (C.45).En d’autres termes, ces deux lois sont identiques dans le cas d’une masse ponctuelle. La notion derotation n’existe pas.C.2.2Corps rigideMaintenant, nous généraliserons les lois de Newton et d’Euler à des corps rigides, cf. Fig. C.5.Le corps a une masse m. Un repère F P dont l’origine est au point P est lié au corps de façon rigide.Le corps est assujetti à une force f −→ et à un couple g −→ . Son centre de masse se trouve au point C, àune distance c −→ de P . Nous souhaitons décrire le mouvement du corps C par rapport à un point Osupposé fixe.Dans le cas d’un corps rigide, c’est-à-dire un corps qui possède un volume fini, l’expression de ladynamique est plus compliquée. Outre la dynamique de translation que nous venons de voir, il existeune dynamique de rotation du corps.Le principe sur lequel se basent les dérivations qui suivent est la division du corps rigide C enune infinité de masses ponctuelles dm, comme le montre la Fig. C.5. La position de chaque masseponctuelle dm est r −→ (exprimée par rapport au point de référence P ) ou R −→ = −→ R P + r −→ (exprimée parCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
C.2 Dynamique 325Figure C.5 – Corps rigiderapport au point fixe O).La masse totale m et la position du centre de masse −→ c du corps rigide C sont obtenus parintégration :∫m = dm(C.50)C∫−→ 1c =−→r dmmLa loi de Newton est applicable à toutes ces masses ponctuelles dm. Chacune d’entre elles possèdeune quantité de mouvement infinitésimale d p −→ :Cd −→ ••−→ −→p = R dm = ( RP +•r−→ )dm(C.51)La quantité de mouvement du corps rigide C peut être déterminée de nouveau par intégration :∫−→p = d −→ ∫ • ∫ •−→ −→p = R dm = ( RP +CCC•r−→ )dm(C.52)•Or, il est beaucoup plus pratique d’exprimer la dérivée−→r du vecteur−→ r dans le repère FP liéau corps C, étant donné que les masses ponctuelles dm ont une position fixe par rapport aux autres•masses ponctuelles qui forment le corps C. Nous utilisons l’Éq. (C.34) (page 320) pour exprimer −→r defaçon plus adaptée :• ◦−→r =−→r +−→ ω ∧−→ r(C.53)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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