Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

Annexe GThéorème de Floquet ettransformée de Floquet-LyapunovLe théorème de Floquet permet d’analyser la stabilité d’un système linéaire périodique à tempsvariant (LPTV, angl. linear periodic time-varying).Considérons la dynamique donnée par l’équation différentielle linéaire suivante.ẋ = A(t)x (G.1)Cette dynamique peut représenter soit une dynamique en boucle ouverte, soit une dynamique enboucle fermée. Dans les deux cas, les entrées exogènes (par exemple bruits et consignes) sont négligéesdu fait qu’elles n’ont pas d’importance pour l’analyse de stabilité.t représente le temps et ẋ la dérivée temporelle du vecteur d’état x ∈ R n . Il s’agit d’une dynamiquepériodique, c’est-à-dire que la fonction de la matrice d’état A(t) ∈ R n×n est périodique avec une périodeT > 0 :A(t + T ) = A(t) (G.2)La matrice de transition Φ(t 2 , t 1 ) ∈ R n×n est définie comme suit :x(t 2 ) = Φ(t 2 , t 1 )x(t 1 ) (G.3)Dans le cas particulier t 1 = t 0 et t 2 = t, il vient :x(t) = Φ(t, t 0 )x(t 0 ) (G.4)En outre, on obtient la relation suivante pour t 1 = t 2 = t 0 :Φ(t 0 , t 0 ) = I n (G.5)Ici, I n est la matrice d’identité de dimension n, cf. Annexe B. Φ(t 0 , t 0 ) peut être considéré commecondition initiale de la matrice de transition Φ(t, t 0 ).339