Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

46 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTREUne manière plus adaptée d’exprimer la dynamique relative serait d’utiliser un repère mobile quisuit le mouvement du point de référence −→ R ref . Pour établir ce repère mobile, il suffit pour l’instantd’introduire sa vitesse de rotation −→ •ω refet son accélération angulaire−→ω ref , cf. Fig. 2.14. La dérivée••−→inertielle ∆Rdoit alors être remplacée par l’expression suivante :••◦◦◦−→ −→∆R= ∆ R + 2−→ −→•ωref ∧ ∆R+−→ω ref ∧ ∆R −→ + −→ ω ref ∧ ( −→ ω ref ∧ ∆R −→ ) (2.53)◦ ◦◦−→ −→ −→∆Ret ∆ R sont la dérivée et la dérivée seconde de la position relative ∆R, respectivement.Maintenant, la dynamique relative dans le repère mobile devient :◦◦••◦−→ −→∆R= ∆ R − 2−→ −→•ωref ∧ ∆R−−→ω ref ∧ ∆R −→ − −→ ω ref ∧ ( −→ ω ref ∧ ∆R −→ ) (2.54)[ −→J−→⊕,sph= ( −→ R ref ) + −→ −→⊕,J2J ( −→ R ref )]· ∆R −→ + ∆ −→ u − 2 −→ ◦−→ω ref ∧ ∆R=•−−→ω ref ∧ ∆R −→ − −→ ω ref ∧ ( −→ ω ref ∧ ∆R −→ )[]−→ J (−→ R−→⊕,sph ref ) + −→ −→⊕,J2J ( −→ •R ref ) −−→˜ω − −→˜ω −→ref −→ref · −→˜ω −→ref· ∆R −→≈−2 −→˜ω ◦−→−→ref · ∆R+ ∆−→ −→ u + O(‖∆RL ‖ 2 ) + O(‖∆ −→ R F ‖ 2 )[]−→ J (−→ R−→⊕,sph ref ) + −→ −→⊕,J2J ( −→ •R ref ) −−→˜ω − −→˜ω −→ref −→ref · −→˜ω −→ref· ∆R −→−2 −→˜ω ◦−→−→ref · ∆R+ ∆−→ u•−→ω ref et −→ ω ref, respective-Ici,ment.•−→˜ω−→ref et −→˜ω −→refsont les dyades antisymétriques associées aux vecteursIl existe plusieurs possibilités pour le choix des vecteurs −→ R ref et −→ ω ref:1. on peut choisir d’identifier le vecteur −→ R ref avec le rayon vecteur d’un point fictif suivant uneorbite keplerienne. Le vecteur −→ ω refest alors la vitesse angulaire de ce point fictif. L’inconvénientde cette option est que ce point a tendance à s’éloigner des satellites de la formation car ceux-cisuivent une orbite perturbée. Or, plus la distance entre le point de référence et les satellites estélevée, plus l’erreur commise lors de la linéarisation est grande ;2. −→ R ref et −→ ω refpeuvent être choisis tels qu’ils expriment le mouvement précis d’un point suivantune orbite perturbée. L’avantage de cette alternative est que l’erreur de linéarisation commise estminimale car les satellites restent à proximité du point de référence. Cependant, il n’existe pasd’expressions analytiques pour l’évolution exacte des vecteurs −→ R ref et −→ ω ref. Il faudrait dans ce caspropager tous les six éléments orbitaux numériquement, ce qui créerait un modèle difficilementutilisable à des fins de synthèse de correcteurs ;3. la troisième possibilité est de se baser sur la variation séculaire des paramètres orbitaux pourchoisir les vecteurs −→ R ref et −→ ω ref. Même si le point de référence ne représente pas l’orbite perturbéeexacte, il reste proche de l’orbite exacte à long terme. Comme le montrent les Figs. 2.12 et 2.13,les variations autour du mouvement moyenné sont d’une faible amplitude. Le fait que les élémentsCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux