Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

248 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATIONtous les axes ξ k . Par exemple, l’hyper-ellipsoïde de la Fig. 5.35, décalé de −1 selon l’axe ξ 1 et de +1selon l’axe ξ 2 , s’écrit :[ ( −1ξ −1)]T[ ( −1P ξ −1)]= 1 (5.105)En total, il existe 2 n de ces hyper-ellipsoïdes décalés (n = 30 étant le nombre d’états du système),ce qui peut être un nombre considérable si n est élevé. Vu les symétries multiples des hyper-ellipsoïdes,la solution est de se restreindre au premier orthant. Les points ξ qui appartiennent à tous les hyperellipsoïdesdécalés obéissent donc à l’équation suivante :⎡ ⎛−1⎞⎤⎢ ⎜⎣|ξ| − ⎝ .−1⎟⎥⎠⎦T⎡ ⎛−1⎞⎤⎢ ⎜P ⎣|ξ| − ⎝ .−1⎟⎥⎠⎦ ≤ 1 (5.106)Ici, |ξ| est la projection du vecteur ξ dans le premier orthant, c’est-à-dire que le module de toutesles composantes de ξ est pris.La Fig. 5.36 illustre le sens derrière le décalage de l’hyper-ellipsoïde de Lyapunov. En fait, ladistance de chaque point ξ de l’ensemble décrit par l’Éq. (5.106) du point le plus proche de l’hyperellipsoïdeξ T Pξ = 1 est supérieure à 1.Ce fait est souligné par les petits carrés (hyper-cubes) dans la Fig. 5.36. Le décalage unitaire del’hyper-ellipsoïde selon tous les axes, ainsi que sa convexité, font que tout hyper-cube de longueur 1dont un sommet obéit à l’Éq. (5.106) n’intersecte pas l’hyper-ellipsoïde ξT Pξ = 1.Figure 5.36 – Hyper-ellipsoïdes de Lyapunov (bleu tireté-pointillé) et de covariance (vert continu)avec limite de l’intersection des hyper-ellipsoïdes de Lyapunov décalés (bleu pointillé) et la surfaceparallèle (rouge continu). Visiblement, des hyper-cubes de longueur 1 dont un sommet se trouve surla limite et des hyper-sphères de rayon 1 dont le centre se trouve sur la limite n’intersectent pasl’hyper-ellipsoïde de Lyapunov.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux