Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

345E{w(t)w(τ) T } est la fonction d’auto-corrélation du signal w(t). I m1 est une matrice d’identitéde dimension m 1 , cf. Annexe B. δ(t − τ) est la fonction δ de Dirac précédemment décrite.La matrice d’identité représente la densité spectrale de puissance (PSD, angl. power spectraldensity) qui est unitaire. La fonction de Dirac signifie qu’il n’existe pas de corrélation entre lesignal w à différents instants.Dans ce cas, la norme H 2 représente l’espérance de la puissance de la sortie contrôlée z(t) :⎧ √ ⎫⎨ ∫‖F (s)‖ 2 = E⎩ lim 1 T⎬tr [z(t)z(t)T →∞ TT ] dt0⎭ .(H.9)Pour nos objectifs, l’interprétation stochastique est l’interprétation la plus simple.Dans le cas de la forme standard montrée dans la Fig. H.1, nous pouvons poserF (s) = F l (P (s), K(s)) où F (s) est le transfert entre w et z et F l (P (s), K(s)) est la transformationlinéaire fractionnaire (LFT) inférieure de P et K :Z(s) = F (s)W (s) (H.10)F (s) = F l (P (s), K(s))= P 11 (s) + P 12 (s) [I p2 − P 22 (s)K(s)] −1 P 21 (s)Le correcteur optimal, en d’autres termes celui qui minimise le transfert entre w et z, s’écrit :K opt (s) = arg minK(s) ‖F l(P (s), K(s))‖ 2(H.11)La norme H 2 d’un transfert F (s) donné par la représentation d’étatF :ẋ = A F x + B F wz = C F x(H.12)peut être calculée à l’aide du gramien 2 de gouvernabilité L c ou du gramien d’observabilité L o :‖F (s)‖ 2 2 = tr ( C F L c CFT )= tr ( BF T )L o B F(H.13)Les gramiens peuvent être obtenus en résolvant une des deux équations de Lyapunov suivantes :A F L c + L c A T F + B F B T F = 0 (gramien de gouvernabilité) (H.14)A T F L o + L o A F + C T F C F = 0 (gramien d’observabilité)Il existe des outils numériques puissants pour résoudre des équations de Lyapunov.Dans la suite, nous décrirons comment le problème d’optimisation (H.11) peut être résolu.2. Jørgen Pedersen Gram (1850 – 1916), mathématicien danoisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux