Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

5.5 Commutation entre correcteurs 245où X est le vecteur des états du correcteur.À partir de là, les trois transformation suivantes ont lieu :1. une première transformation M 1 est effectuée afin d’aligner l’hyper-ellipsoïde (x−X) T R(x−X) =1 avec les axes du repère :R ′ = M T 1 RM 1 (5.102)P ′ = M T 1 P M 1x ′ = M T 1 xX ′ = M T 1 XM 1 est la matrice des vecteurs propres de R. R ′ est maintenant une matrice diagonale aveccomme composantes les valeurs propres de R. Les hyper-ellipsoïdes deviennent x ′T P ′ x ′ = 1 et(x ′ − X ′ ) T R ′ (x ′ − X ′ ) = 1, cf. Fig. 5.32(b) ;2. une deuxième transformation M 2 transforme l’hyper-ellipsoïde (x ′ −X ′ ) T R ′ (x ′ −X ′ ) = 1 en unehyper-sphère unité :R ′′ = M T 2 R ′ M 2 = M T 2 M T 1 RM 1 M 2 = I n (5.103)P ′′ = M T 2 P ′ M 2 = M T 2 M T 1 P M 1 M 2x ′′ = M T 2 x ′ = M T 2 M T 1 xX ′′ = M T 2 X ′ = M T 2 M T 1 XM 2 est une matrice diagonale. Ses composantes sont les inverses des racines carrées des valeurspropres de la matrice R ′ , en d’autres termes les demi-grands axes de l’hyper-ellipsoïde (x ′ −X ′ ) T R ′ (x ′ − X ′ ) = 1. Les nouvelles expressions deviennent x ′′T P ′′ x ′′ = 1 et (x ′′ − X ′′ ) T (x ′′ −X ′′ ) = 1, cf. Fig. 5.33(a) ;3. enfin, une troisième transformation M 3 aligne les axes de l’ellipsoïde x ′′T P ′′ x ′′ = 1 avec les axesdu repère :R = M T 3 R ′′ M 3 = M T 3 M T 2 R ′ M 2 M 3 = M T 3 M T 2 M T 1 RM 1 M 2 M 3 = I n (5.104)P = M T 3 P ′′ M 3 = M T 3 M T 2 P ′ M 2 M 3 = M T 3 M T 2 M T 1 P M 1 M 2 M 3ξ = M T 3 x ′′ = M T 3 M 2 x ′ = M T 3 M T 2 M T 1 xΞ = M T 3 X ′′ = M T 3 M 2 X ′ = M T 3 M T 2 M T 1 XM 3 est la matrice des vecteurs propres de la matrice P ′′ . Il vient ξ T Pξ = 1 et (ξ−Ξ) T (ξ−Ξ) = 1,cf. Fig. 5.33(b). La matrice P est diagonale avec les valeurs propres de la matrice P ′′ commecomposantes.Comme la Fig. 5.33(b) l’illustre, nous avons obtenu, grâce aux trois transformations affinesdécrites, un hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1 sous forme normale, c’est-à-dire que les axes sont alignés avec lesaxes du repère, et une hyper-sphère (ξ−Ξ) T (ξ−Ξ) = 1. Le caractère du problème initial a été conservé.En d’autres termes, nous cherchons toujours à déterminer si l’un des deux ((ξ − Ξ) T (ξ − Ξ) = 1) estentièrement à l’intérieur de l’autre (ξ T Pξ = 1). De ce point de vue, le problème initial et le problèmetransformé sont équivalents.Or, la Fig. 5.33(b) montre également qu’il existe une manière plus simple afin de déterminer sil’hyper-sphère (ξ − Ξ) T (ξ − Ξ) = 1 est comprise dans l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1. En effet, un critèreéquivalent est de déterminer si le point Ξ se trouve à l’intérieur de l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1 et si laCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux