Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.3 Analyse de la dynamique 133d’ordre deux peut être écrite sous forme d’une représentation d’état :ẋ = Ax + Bu (4.2)A est appelé matrice d’état, B matrice d’entrée, x vecteur d’état et u vecteur d’entrée 6 . Il estimportant de rappeler que les matrices A 1 et A 2 , et donc la matrice A également, dépendent d’unparamètre variant, l’anomalie vraie ν :A 1 = A 1 (ν), A 2 = A 2 (ν) et A = A(ν) (4.3)Il vient :ẋ = A(ν)x + Bu (4.4)Selon l’Éq. (2.6) (page 24), le paramètre ν a la dynamique suivante :˙ν =n(1 + e cos ν)2(1 − e 2 ) 3/2 (4.5)Concernant les deux modèles dynamiques prenant en compte l’effet du deuxième harmonique zonal,données par les Éqs. (2.77) et (2.88) (pages 57 et 57), il existe deux paramètres variants, l’anomalievraie ν et l’argument du périgée ω :ẋ = A(ν, ω)x + Bu (4.6)Les paramètres ν et ω obéissent aux dynamiques suivantes (cf. les Éqs. (2.24) et (2.25), page 34) :(n + ∆n)(1 + e cos ν)2˙ν = (4.7)(1 − e 2 ) 3/2˙ω = − 3nJ 2R⊕2 ( ) 52p 2 2 s2 i − 2 = C(5c 2 i − 1)nL’analyse de systèmes à paramètres variants est nettement plus difficile que celle d’un systèmestationnaire car, en principe, les méthodes fréquentielles (par exemple lieu de Bode, lieu des pôles,valeurs singulières, etc.) ne sont applicables qu’à des systèmes stationnaires.Cependant, nous utiliserons ces méthodes dans la suite pour avoir un sentiment de l’impact desparamètres variants sur la dynamique. À cette fin, nous gèlerons les paramètres à une valeur fixée etappliquerons les méthodes d’analyse des systèmes stationnaires, notamment la carte des pôles et letracé des valeurs singulières.La Fig. 4.1 montre quatre lieux des pôles différentes. Le premièr lieu des pôles (croix noires)est celui des équations de Clohessy-Wiltshire, c’est-à-dire en orbite circulaire sans perturbationsorbitales. Cette dynamique est stationnaire, ce qui se traduit par le fait que les six pôles tracés nese déplacent pas le long de l’orbite. Le deuxième lieu des pôles (tracée en noir) est celui de la dynamiquetranslationnelle en orbite elliptique non perturbée, correspondant aux équations de Lawden.Le déplacement des pôles le long de l’orbite est évidente. De par l’amplitude du champ de gravitationterrestre, les pôles sont beaucoup plus rapides en proximité du périgée qu’en proximité de l’apogée.6. Nous utilisons dorénavant le terme vecteur au lieu de matrice colonne car il n’existe plus de risque d’ambigüité.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux