Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

2.1 Le mouvement d’un satellite en orbite terrestre 31Figure 2.8 – Attraction différentielle du Soleilterrestre utilisant des fonctions harmoniques, cf. par exemple [185] et [12] :U ⊕,complet (R −→ µ ⊕, ϕ) =(R −→ · −→ (2.18)R) ⎧1/2 ( )⎨ ∞ l []·⎩ 1 + ∑ R ⊕l∑⎫ ⎬(R −→ · −→ −J l P l (sin ϕ) + (C lm cos mλ + S lm sin mλ)P (m)R) 1/2 l(sin ϕ)⎭l=2m=−lLes fonctions P l (x) et P (m)lcf. [187] :s’appellent fonctions de Legendre 4 . Elles sont définies comme suit,P l (x) =12 l · l! · d l [(x 2dx l − 1) l] (formule de Rodrigues 5 ) (2.19)P (m)l(x) = (−1) m (1 − x 2 m/2 dm)dx m [P l(x)]P (m)l(x) = (−1)m2 l · l! (1 − x2 m/2 dl+m [) (x 2dx l+m − 1) l]En effet, les termes J l P l (sin ϕ) décrivent des déviations axisymétriques (par exemple un aplatissementou une forme de poire) du champ de gravitation terrestre (harmonique zonal d’ordre l), tandis queles termes (C lm cos mλ + S lm sin mλ)P (m)l(sin ϕ) sont des déviations dépendant de la longitude λ(harmonique tesseral d’ordre l).Nous nous concentrerons dans la suite sur les harmoniques zonaux car leurs effets dominent surles effets des harmoniques tesseraux. Les quatre premières fonctions de la suite P m (x) s’écrivent :P 0 (x) = 1 (2.20)P 1 (x) = xP 2 (x) = 3x2 − 12P 3 (x) = x(5x2 − 3)24. Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), mathématicien françaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux