Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

250 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATIONLes Figs. 5.37 et 5.38 montrent les résultats d’une simulation utilisant la stratégie 2b. Ces résultatsne sont pas fondamentalement différents des résultats obtenus avec la stratégie 2a. Cependant, il estbien visible que le temps passé dans le mode 2 est beaucoup plus élevé en utilisant la stratégie 2b. Leschiffres exactes sont indiquées dans le Tab. 5.23 (page 254).états et états estimés3210−1−20 200 400 600 800 10004mode3210 200 400 600 800 1000temps [s]Figure 5.37 – Simulation dans laquelle la commutation est effectuée selon la stratégie 2b, c’est-à-diredès que dès que la fonction ˜Ξ T P ˜Ξ devient plus petite que 1. La partie supérieure trace l’évolutiondes états du système (lignes continues) et du correcteur (lignes tiretées, à peine visibles). La partieinférieure indique le mode actif en fonction du temps. Les lignes verticales noires sont les instants decommutation.La Fig. 5.38 montre la fonction ˜Ξ T P ˜Ξ pour les différents modes parcourus et la compare avec lafonction de Lyapunov X T P X utilisée dans la stratégie 2a. D’abord, il est bien visible que la fonctionde Lyapunov est toujours inférieure. Ceci s’explique par le fait que la surface ˜Ξ T P ˜Ξ = 1 se trouvetoujours à l’intérieur de la surface X T P X = 1, cf. Fig. 5.36.L’augmentation du temps passé dans le mode 2 s’explique par le fait que la fonction de Lyapunovdevient plus petite que 1 rapidement, tandis que ˜Ξ T P ˜Ξ arrête de décroître et recommence à s’accroîtrepour devenir plus petit que 1 quelque temps après. Ce phénomène est lié au fait que la fonction deLyapunov n’est pas une fonction de Lyapunov du mode courant, mais du mode suivant.Stratégie itérative et exacteNous avons déjà mentionné que le critère ˜Ξ T P ˜Ξ ≤ 1 est seulement suffisant, mais pas nécessaire.Le critère nécessaire et suffisant est si la distance d entre le point Ξ = M T 3 M T 2 M T 1 X et le point le plusproche de l’hyper-ellipsoïde ξ T Pξ = 1 est supérieure à 1.Le point le plus proche d’un hyper-ellipsoïde n’est pas trivial à calculer. En effet, nous n’avons pastrouvé de méthode directe dans la littérature. Cependant, nous avons pu développer deux algorithmesitératifs capables de déterminer si la distance d est supérieure ou inférieure à 1. Les détails sont donnésdans l’Annexe I. Notamment, nous avons montré que ces algorithmes convergent et qu’ils n’ont besoinCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux